INTÉGRATION LE LONG D'UNE COURBE PLA

par rapport à deux axes rectangulaires Oc et Op. A chaque état

du corps, répond un point M dans le plan, et, inversement, à

chaque point M, répond un état du corps. Ce point M est le point

représentatif A^ l'état du corps. Quand le corps change d'état,

sa pression et son volume spécifique

varient d'une manière continue, le point

i-eprésentatif M se déplace dans le plan,

en décrivant une certaine courbe M|,M.

Supposons que le corps soit dans un

certain état, représenté par un point M,

de coordonnées v elp ; proposons-nous

d'amener le corps, de cet état, à un

état infiniment voisin, représenté par un

point M', de cordonnées v -\- dv etp + dp. Il faut, pour cela, lui

communiquer une certaine quantité de chaleur inSniment petite

3Q dont l'expression est de la forme :

oii les coefficients À et k i pour chaque corps

5Q = À,/,H-/vV- )nt des fouclion

ï <!o 1' et p détcrn

'fi'.i'), I'-

rs'ous no nous occuperons pas ici de la signification physique de ■ces coefficients, mais voici maintenant le point capital dans la théorie de la chaleur, où se rencontre une application de la théorie précédente. Considérons deux états déterminés du corps représentés par les points M,, et M de coordonnées f„,p„ et c,y>. Supposons qu'on veuille faire passer le coi-ps de l'état M^ à l'état M, par une suite d'états intermédiaires représentés, successivement, par les divers points d'une courbe continue C, joignant les points M^ et il (fig, 171). Cherchons la quantité totale de chaleur Q (positive ou négative) , qu'il faut communiquer au corps pour réaliser cette transformation.

Pour cela, divisons l'arc M^M par des points M,, M,,,.., M„i, infiniment rapprochés et en nombre infiniment grand. La quantité de chaleur cherchée Q est la somme des quantités de chaleur infiniment petites qu'il faut communiquer au corps pour l'a

COURS D'ANAirSE

ement de l'étrtt Mj à i'étatM,, puis de l'étiit M, à l'état iM.,,... et ainsi de suite jusqu'en M, On a clone ;

l'intégration élant faite le long de la courbe G. (Actuellement, c &t p jouent le rôle de :c et »/ dans la théorie analytique précédente.)

On croyait, au siècle dernier, que cette quantité de chaleur Q dépend uniquement de l'état initial M„ et de l'état final M, et non de la suite C des états intermédiaires : cela revenait u admettre que la quantité sous le signe d'intégration est une différentielle exacte. Mais on a reconnu que cette inanière de voir était inexacte. L'expression

n'est pas une différentielle totale cxnolo ; la dérivée partielle -Y"- n'est pas égale à -=— . Des lors, la quantité Q ne dépend pas

seulement des états initial et final M^ et M, mais de la suite des états intermédiaires, La quantité de chaleur, nécessaire pour l'aire passer un coi'ps d'un état ii un autre , n'est pas déterminée par la seule connaissance de ces deux états ; elle ne l'est que si on donne la suite des états intermédiaires, c'est-à-dire la courbe C. Il se passe, pour cette quantité de chaleur, quelque chose d'analogue Èi ce qui se passe pour l'aire d'un secteur M|,OM [fi{^. 169) : cette aire n'est pas déterminée, quand on connaît seulement le point de départ M^ et le point d'arrivée M de l'arc M„M : elle ne l'est que si on donne l'arc de courbe C joignant les deux points, et elle change avec le choix de cette courbe.

La théorie mécanique de la chaleur va maintenant nous fournir un exemple de difFérentielle totale exacte. On appelle température absolue d'un corps, à t degrés centigrades, la quanti lé

Cette quantité est, pour un corps donné, une fonction déler-

DIFFERUNTIELLES TOTAt.ES A TROIS VARIABLES -■{97

minée de c et p, car f est une fonction connue de c et p. Ceci posé, on démontre en physique que l'expression :

~^=^d^-h~dp.

c-il une di(l'ércndeUe totale exacte, c'est-à-dire que l'on a

il) <i)

dp d<'

On peut alors poser

-^(/uH- -^dp = d^{v,(}),

S étant une certaine fonction de c etyj. Cette fonction S s'appelle Venlropie du corps. Si Von considère l'intégrale

prise, de M„ en .M, le long d'une courbe quelconque, celte inté grrtle est égale à

£''Vs-^-s(.,,/i-s(,..,,..).

Elle est donc indépendante des transformations suliies par h corps, pour passer du premier état au deuxième.

IV. CIFPËBENTIELLES TOTALES A TROIS VARIABLES INDÉPENDANTES INTÉGRALES FRISES LE LONG D'UNE COURBE DANS L'ESPACE

324 . Conditions pour qu 'une expression différentielle à trois variables indépendantes soit une diffërentielle totale exacte. — Il est aisé d'étendre, a des expressions différentielles à trois variables, la théorie du paragraphe précédent, relative à des expressions k deux variables.

Considérons une expressslon de la forme

(i; fl», ,j, ,) <iT+-f (,,.-, ,j, =) rfj +.1 (,«, y. -<) <(,=,

où fix,y,z), o(^,y,E) et ^]^{.T,)j,z] sont des fonctions données de x,y,z. On peut se demander sous quelles conditions cette expression est la différentielle totale d'une fonction \]{x,y,z), c'cst-;\-dîre peut être identifiée avec l'expression