L-s, immédiatement, que ^r^ est égal il -^, car ces les deux

deux expressions sont éo-ales il — — — ; on vérifie, de

^ ^ àxày

autres conditions.

2" Les conditions (3) sont suffisantes. — Nous allons montrer que, si ces conditions sont satisfaites, il existe ime fonction U, de x,y,z, vérifiant les trois relations (4), et déterminer cette fonction.

Pour cela, regardons d'abord z comme constant et commençons par chercher la fonction la plus générale

vérifiant seulement les deuxpreniières relations (4)

(5) •~-=f(s,y,,], -~~ = -^[x,ij,z).

yGoosle

D!FFÉRE?y-TIF-!.LES TOTALES A TROIS VARIABLES

Comme .: est, provisoirement, regardé comme constant, TJ est une fonction des deux variables indépendantes x t,t y ; d'après la théorie du paragraphe précédent, il existe une fonction U de x et y vérifiant les relations (5), car on a

(if h-s et cette ronctloii est doniicc pnr la formule

(6) u^jf/-;!, 5, s) fc+JV ;»..;/.=)'','/+ c„),

C(., étant une constante par rapport ii j: et y. On pourra donc prendre, ponr C,„, une fonction quelconque de .: : quelle que soit cette fonction, la fonction U, de x,ij,z, définie par (6), vérifie les deux premières relations (4). Il reste maintenant à déterminer C, en fonction de ;, de telle façon que l'on ait

OU

En calculant—^ — par la règle de (lifférenLlolion sous le signe I , et tenant compte de ce que C est fonction de ;, nous aurons à vérifier l'équation

Mais, d'après les conditions (3) supposées remplies identiquement, on a :