C- iiflx, >/, t) , /"" O'I' (x, >/, .v

ir^r^'''=y, J rf,, = J.t,,y.,)-i(x.,y,=,;

de même,

jl '^ ^.■" ' '^'J^X^^^f dy^-lx„y,z) — '[{x„,y„z).

yGoosle

V.a remphiçaiit les intégrales pav ces valcui's et rédliusmit. VDitfjiieli» relation (7) devient

cl'oii

£Ku^y.,^)

dz-

K étant une constante indépendante de x,ij,z.

Finalement lu fonction TJ, admettant pour dLll'éi'entielle lutalo l'expression (li, est donnée pav la formule

^=£f{-''^'j, =) ''■'■+£'-? G'v^,=)'/y+ [ ^ ;.'■., ,'/.. -■ dz+K.

325. Intégrale prise le long d'une courbe dans Vespa-ce. — Imaginons, tltins l'espace, une courjje C \fi<^. 172: . juignunt deux

points My et M, de coordonnées :r^,ij^^.z^ et ,'■,'/, : comme dans le plan, l'intégrale

prise le long de C,de IM^enM. Pour cela, onprend, sur la coiirbeC, des points intermédiaires M^, M,,.,,, M„ , infiniment rapprochés et en nombre infiniment grand. L'intégrale est, par définition, la limite de la somme

+/(»■,. >/.,-.)(-«-aj4

lyj'ÉGHAI.E LE LO^G D'UNE COVRBE DE L'ESPACE 'joi

OÙ H iiugmente indéfiniraeiil , toutes les différences .Cj — :i\, ,f^ — j:,,..., y, — */û, i/j — l/if-, ^1 — "qi ^a — 'n--- tendant vers zéro. L'intégrale I, ainsi définie, peut facilement être ramenée à ime intégrale sinnple ordinaire. Kn effet, le long de la courbe C, on peut exprimer les coordonnées x,y,z d'un poinf, en i'onction d'im paramètre /

qui vacie de /„ à /,, quand le point {■>',//,;) décrit la courbe, de M, en M. On a alors, d'après la règle du changement de variable

I ~£'UV; ,".•') ■'.' + s (À, ;J, v) ?' +4 0; ?, v,' ■/] ,1,,

OÙ nous écrivons pour abréger X,;j.,v, /.',;;;', -/an iieii de X('/),;j;(/),vf/j, et des dérivées ).'(/), i^.'{i), •/'(/).

326- Conditions pour qu'une intégrale, prise le long d'une courbe dans l'espace, ne dépende que des points de départ et d'arrivée et non du chemin suivi.

Considéi'DES Tintégrale

=jf"'/V.j'. =)*'■ + ?>.?,=;>';/ H

prise, de .\1„ eu M, le long d'une courbe C Kn général, les deux points ily et M étant donnés, la valeur de l'intégrale change avec la courbe C, le long de laquelle on intègre. Pour que l'intégrale I soit indépendante de la courbe C et dépende uniquement des points de départ et d'arrivée, il l'aut et il suffit que la quantité sous le signe / soit une différentielle totale exacte, c'est-à-dire que l'on ait

ùf __ .V; .Vi __ *).{; i)i û/"

T^""^' ~^~"'^!/~' "i\ï""~"ÔT'

La démonstration de cette proposition est identique à celle que nous avons donnée (N" 322) , pour le cas des intégrales prises le long d'une courbe plane,

327. Exemple tiré de la mécanique. Travail. — Considérons un point matériel M de coordonnées .i',!/,3, sollicité par une force

ÏO' COURS TJ' ANALYSE

F iiviKit pour projections X,Y,Z. Si le point M subit un déplticemeiit infiniment petit Mil' de projections dx, dij, dz, on sait qnc le travail élémentaire correspondant de la force F est donné par l'espiession

(10) XdxA-^dy + 'Ldz.

Supposons quo la l'orce dépende seulement de la posiliou du point ; dans ce cas X,V,Z sont des l'onctions de x,y,z

le travail élémentaire est alors une expression dillcrciîticllc coiume celles que nous venons d'étudier.

Imaginons que le point matériel passe d'une position M,, à une position M, en suivant une courbe C {fig. 172) : on définit alors le travail total ^ delà forceF, correspondant à ce déplacement, de la façon suivante : on divise l'arc iI„!M en une infinité de parties infiniment petitespar des points intermédiaires M|,M^,..., M^et on dit que le ti'avail total % est la somme des travaux élémentaires de la force, pour les déplacements successifs M„M,, M, il,...., M„il. On a ainsi

"6= Ç'y.dx^\d>j-\-'Uh.,

l'intégrale étant prise le long de la courbe C.

En général, ce travail total ^ dépend, non seulement du point de départ M,, et du point d'arrivée M, mais aussi du chemin C suivi par le mobile. Pour que '3S soit indépendant du chemin suivi, il faut et il suffit que l'expression ^dx-\^dy^'Ldz soit une différentielle totale exacte, c'est-à-dire qu'il existe une fonction l!(,r,j/,;}, telle que