I. — INTÉGRALES DOUBLES

DÉFINITION. Évaluation d'un volume. — .Vous sommus i à la notion d'intégrale simple, en évaluant l'aire d'un segment de courbe plane et en démontrant que cette aire est la limite de la somme des rectangles infiniment petits inscrits. Nous avons vu d'ailleurs que, réciproquement, toute intégrale simple peut être graphiquement représentée par l'aire d'un segment de courbe plane.

Nous arriverons, de même, à la notion d'intégrale double, en cherchant à évaluer un volume défini comme il suit : considérons, dans le plan des xi/, une courbe fermée G, servant de directrice à une surface cylindrique, dont les génératrices sont parallèles à Os, et proposons-nous de calculer le volume V limité, latéralement, par cette surface cylindrique, inl'érieurement, par le plan des xtf et, supérieurement, par une portion de surface courho continue S ayant pour équation

Nous supposerons d'abord que cette portion de surluce S est tout entière au-dessus du plan des xr/.

Divisons l'aire de la base C en un nombre très grand d'éléments superficiels très petits Ato [fig. 174). Pour effectuer cette division, il suffira d'imaginer qu'on ait tracé sur la base C deux systèmes de courbes telles que les courbes d'un même système soient très rapprochées et soient coupées par les conrbes de

5o5 COURS D-AKALYSF.

l'autre ; on obtient ainsi une sorte de quadrillage divisant l'aire V, en éléments iw. Soient

les éléments superficiels de l'aire C, obtenus de cette façon. Construisons ensuite des surfaces cylindriques verticales ayant, respectivement, pour bases, les éléments superficiels A(i),,A(!)^, ... et considérons les volumes c,,fi,,...,c„ limités, latéralement, par ces surfaces cylindriques, inférieurement, par les éléments plans

iii),,Aù)j,..., Ab>„ et, supérieurement, par ta surface courbe donnée S. Il est évident que le volume cherché V est la somme des diverses parties de même nature c„f„. ..,(•„. dans lesquelles on. l'a ainsi divisé ;

On peut écrire aussi ;

V = lim(<., + ..,-|-... + ^„),

car la somme du deuxième membre est constante, quel que soit n et égale h V. Cela posé, nous allons remplacer chacun des volumes élémentaires c,,fj,..., c„ par un cylindre élémentaire inscrit de la façon suivante {fig. 175). Le volume c, est limité inférieurement, par l'élément Aw, et supérieurement, par la portion

ABDT de la surface S qui se projette sur iw^ ; appelons Z, et ;,, la pins grande et la plus petite valeur que prend l'ordonnée s aux divers points de la poi-tion ABDR de surface S ; sur la figure 175, Z, serait l'ordonnée du point D el z^ celle dn point A. Menons, par les points D et A, d'ordonnées Z, et ;,, des plans horizontaux DE'A'B' et AB"D"E'' : nous formons ainsi, deux cylindres ayant pour base commune i'J,, et, pour hauteurs : l'un Zj ; l'autre, ;,; le premier de ces cylindres a un volume Zjiiu, supérieur à »-,, on peut l'appeler cylindre circonscrit ; le deuxième a un volume '•^^<à^ inférieur à f,; on peut l'appeler cylindre inscrit. De même, nous comprendrons le volume c^ entre deux cylindres de hase ioi^, l'un circonscrit, ayant pour hauteur Z^. l'autre inscrit, ayant pour hauteur z^ ; et ainsi de suite.

Nous allons démontrer que le volume V est la limite de la somme des cylindres inscrits quand le nombre des di^âsions A(ij,,Aw^.

mente indéfiniment, chacune de ces aires élémentaires se rédi sant à lin />oin>,

(2) V =lim (=,it.., + ^.A«, + . . . + ..,A.„J .

., de la base, aug-

En effet, let

.^,ico, + r,i«.

.;„iw„

sont composées d'un même nombre de termes, lous de même signe ; pour démontrer qu'elles ont même limite, il suffit de démontrer que le rapport d'un terme d'une des sommes au terme correspondant de l'autre tend vers 1, quand n augmente indéfiniment, dans les conditions indiquées. Or on a

.,<.' <Z,ii., ■

d'où, en divisant par "liw,, 1< -

yGoosle

Quand l'i'lémcul Ao)^ se n'^dnil h un point 1'^ l'ordonnée niu\iinnni Z, de la sni'lyce S dans Aw., et l'ordonnée minimum r tendent,

l'une et l'autre, vers l'ordonnée du point P,,P,M,, et le rapport — U tend vers 1. Le rapport— 7* — , comprisentre I et un rapport tendant vers 1, tend lui-même vers 1. On ferait la mÈme démonstration pour les rapports——^ — , —~ — . On ])eut doue

V = lim {..,A,.,, + -4-.+ -. - + ^-.A'o,:),

ce ([iii. démontre bien ([ue le vokime est la limite vers laquelle tend la somme des cylindres inscrits. On voit que nons sommes ainsi arrivés, par une voie analogue h celle que nous avons suivie pour évaluer l'aîre d'un segment de courbe plane (N" 5), à un théorème analogue ii celui qui consiste i» dire que l'aire d'un segment est la limite de la somme des rectangles inscrits,

Nùlalion. Pour expj'iinei' (|iie V fM 1a liinile de lu sioiiinifi

en mettant deux signes [ . On répète deux fois le signe d'intégra tion, parce que, comme nous le verrons plus loin, quand onveu calculer numériquement un volume par cette méthode, on es conduit à calculer, successivement, deux intégrales simples. On appelle l'expression

Zd-M

une intégrale doiil/le et, pour exprimer qu'il laut laire la somme des produits zdiù correspondant a tous les éléments siiperficlels de l'aire de la courbe (', on dit que f'inlcgrnle double est étendue à l'aire de la courhe C.

Remauque. — On démontrerait, de même, que le volume V est la limite de la somme des cylindres circonscrits ZjAwp/.^Aw^,... On en conclut qu'il est aussi la limite delà somme des cylindres ayant pour bases Am,, Aw^,..,, Aw„et, pour hauteurs respectives, le

premier.

lyriiGRA-I.KS D OVULE s joi,

e (le la surfuce S, ayant son pied e quelconque de la surl'ace S,

e ordonnée qnelconqm dans A",, le deuxième, une ordon

ayant son pied dans it",,... etc.. Rn effet, la nouvelle somme, ainsi formée, est comprise

r,Aw,+ ->

ment entre les deu

qui tendent, rune et l'autre, vers V. KUe tend doue aussi vcis \'. Toutes ces pioiiositlons s<)nt résumées par l'équation unique

qui exprime (|ui clément de basi dante ^ de la obtenus.

lonr avilir le volinne, il laiiL mtillipliei' chaque nliniment petit ih> par l'ordonnée correaponrfacc, et l'aire la somma des produits ainsi

329. Positions diverses de Ja surface S. — ]Nous avons supposé S, nu-dessus du plan vOi/, dans l'étendue considérée. Si S était tout entière au-dessous , tous les ; seraient négatifs, et comme les éléments superficiels rfw sont essentiellement positifs, la somme

ff-'

représenterait Se volume changé de signe.

Si la surfaces était partiellenieul au-des^Hus, partiellem dessous du plan xOy, la

;s correspon- : du plan des

représenterait la diil'érencc entre les deux daut aux portions de la surface, situées ai XI/, ei aux portions de cette surface, situées au-dessous de ce

pi"-

Ces considérations sont entièrement analogues à celles que nous avons développées, quand nous avons déflni la valeur algébrique de l'aire d'un segment de courbe plane (N" 7l.

covns D' A. \ AL y. s a