CALCUL D'UNE INTÉGRALE DOUBLE

OU, en remplaçant z par siiviileui', tlréR de ré([u!amii de la suilace S,

V = /'/y(.r,!,),farf,,

l'intégration étiiiil otendue à l'aire de C.

Voici comment on conduira le calcul pour évaluer cette double somme. Le problème est de calculer la somme des volumes des cylindres '(hvdy, en prenant successivement pour base, rf^ffi/, de ces cylindres, tous les rectangles infiniment petits, dans lesquels on a

divisé la base C. Commençons {fig. 177) par évaluer la somme T de ceux de ces cylindres, qui ont pour bases les éléments superficiels dxdy, compris entre les deux parallèles PA et P,Ap à l'axe O^, ces parallèles étant supposées infiniment rapprochées et situées à une distance dij l'une de l'autre,

La somme T de ces cylindres forme une tranche du volume V, comprise entre les deux plans verticaux, ayant pour traces PA et P,Aj. L'un quelconque des cylindres de cette tranche a pour volume zdxdy, ou

f{s,ij}dj:dy.

yGoosle

y ul dy sont les iiiènies, pour tous ces cylindres; un peut doue, dans leur somme, mettre dy en facteur et regarder y comme constant ; ce qui donne, pour le volume de la tranche T,

T^=di/. somme des produits f{jx:,y)d.i.

Celle somme est une intégrale simple prise par rapport \\ ,c, d,.nc

'V=dyff{.v,!,)d.v.

11 reslo il voir entre ([uelles limites doit être prise cette intégrale simple par rapport à x. La droite AP, située à une distance 0P=^(/, entre dans l'aire C par un point M,, d'abscisse x^, et en sort par un point M^, d'abscisse 3.\ : ces deux abscisses sont connues, en fonction de y, puisque la courbe C est donnée. Pour obtenii' tous les cj'lindres contenus dans la tranche T, il faut faii'e la somme des produits f [x ,y) dy drc , en laissant dy et y constants et faisant variei' x de :i\ ax^: OTi a donc

la [laïK'lic- T

s'ubticiii par

huit siippo.ci.

laite, riiilég,

car !i ligure sous le signe I et les 1 ! de //, On peut donc poser, poi

/"/■vo?:*— 4,i/:.

I.u tranche considérée T, comprise entre les plans verticaux ayant poui' fraces l'A et P|A,, est donc ■ï:=']^[y)dy.

Pour avoir le volume total, il reste maintenant à l'aire la somme de ces tPaiiVlies : cette somme est nue intégrale simple

Voyons entre quelles liantes elle doîl ùlre prise. Pour oblenir

CALCUL D'Vyj: ly TliGRALK DOUBLE M)

toutes les tïiuiclies T, i! iiiiit tlonner, successi veinent, ii la droite PA, toutes les positions possibles traversant l'aire C. Si donc, nous menons les deux tangentes a la courbe C parallèles à 0.( ,

soient P„Ay, et P'A'^ et si nous appelons )/„ et //' les ordonnées de ces droites

il faut faire varier OP = /y entre ces deux limites. On a donc, liuiilement, pour V, somme de tontes les tranches T,

tiii i/iji) a la signification siiis'ante :

foimule qu'il faut comprendre comme il suit : on calcule d'abord / l'\i\ij'(lf ; cette intégrale est une fonction de ^ ; on multiplie cette fonction de y par dij et on intègre de y„ à y'.

Qnaud on évalue ainsi le volume, en rangeant les cylindres élémentaires sdxdy, par files parallèles au plan des xz, on dit qu'on intègre d'abord par rapport » .<■ . parce que la première intégrale ii calculer

f'f\,-.!,]dx.

est une intégrale piir riippoi't il .i. l.a dfiixliMiie intégration se fait par rapport ii y.

Il est évident qu'on pouiialf opérer dans un ordre inverse, en intégrant d'abord par rapport à ij, c'est-à-dire en calculant d'abord une tranche du solide comprise entre deux plans parallèles au plan yOz, d'abscisses x et ,f + (/,r, puis en faisant la somme de ces tranches.

yGoosle

li COURS n'AXALYSE