PiiEMiKLi i:xEMin.E. — Cousidévoiis liisurfiic

Pi'ciions comme courbe C,diuis le plun des .ry, un demi-ccrt

DEF, ayant son centre II sur O.r, ii une distance 011 rr^ 2 et pour rayon 1 [fi^. 178). I.e demi-cercle a pour éfiiuition

J.c voluuie clierclié Y est limité, latérale nient, par la suri'ace cylindrique ayant ce demi-cercle pour directrice, on jjas par le plan des ,ry, en haut par la eurCace

On a

V = /J=,Wi, =//,■,*.</,,

l'intégrale étant étendue an demi-cercle C. I*i'cunns d'abord la somme T des cylindres élémentaires

dont les bases d.idij sont comprises entre les deux parallMes à O.r, I*jV cl 1*|A,, d'ordonnées ij, et >j-\-c/i/. Xoiis anrons ainsi, une tranche du solide

dans cette tranche ^ et di/ sont constants ; j: varie depuis x^, abscisse du point d'entrée M, de la droite PA, jusqu'il x^, abscisse

du point de sortie. Donc :

'ï=^dyj xydx.

yGoosle

CALCUL D'UNE INTÉGRALE DOUBLE 5l5

Les limiles x^ et x^ sont des fonctions de ij, fournies par l'équation du demi-cercle C,

dans laqnelle y n la valeur OP. On a donc

L'intégrale indéfinie / xydx est , et l'intégrale définie

Remplaçanl x^ el .j', par leurs valeurs, on a

C'esl làla l'onction J/{i/) du cas général. La tranche T est donc

Pour avoir le volume, il faut maintenant faire la somme de ces tranches.

On remarque que, poui' obtenir tontes les tranches, il huit déplacer PA entre l'axe Ox et la tangente au cercle PW, parallèle ij Ox; il faut donc faire varier y de 0 à 1, et on a

\^ f f^ySlV—y'-dii.

L'intégrale indéfinie s'obtient immédiatement, car ^ydy est, ii un facteur numérique près, In différentielle de 1 — i/*, de soiie qu'on peut écrire

l'intégrale indéfinie est donc

5i6 COURS D'AA'ÂLrSE

et riiiUJgralc définie entre les limites !/=;Oeli/ = l, nsf

332- Deuxième exemple. — Prenons comme base d'une surface cylindrique le triangle OEF, limité par les axes O.vOi/, et par la droite EF (fig. 179) ayant pour équation

puis, considérons le volume limité par cette surlace t:ylindri(jue, le plan des .ti/ et la surface