volume V est donné par la brmule
■■" l'intégrale étant étendue à l'aire du triangle OEF. Évaluons d'abord lu somme des cylindres élémentaires (2x^+7/= + !) dj; dy, compris entre les deux droites PA et PjA,, parallèles à O.f, ayant pour ordonnées i/ et ij-\-dy. Cette somme est une tranche T du volume donnée par
les limites de cette intégrale sont les aliscisses .>\ et . P et Mj où la droite PA, d'ordonnée y, coupe le eou de base OEF ; on a donc :
, des points Mir de l'aire
■ésultc de l'équation de la droite V.V . Ain 'intégrale indéfinie est
yGoosle
CALCUL D'U!\-E INTÉGRALE DOUBLE >r7
et riiitégralc définie, entre les limites 0 el 1 — y. Donc
T = '?^|^-^(i — .yî' + r — / + -1 ~yV
Pour avoir le volume tout entier, il faut l'aire la somme de toutes les tranches analogues, en déplaçant P de 0 en F, c'est-à-dire faisant varier y de 0 à \ :
=jf'*[4<'
l/intégrale indéfinie est
et l'intégrale définie, entre les limites 0 et 1,
1 J j î„Jî
333. Interprétation géométrique da calcul. — Si nous reprenons le cas général, nous pouvons vérifier ((ne la méthode actuelle , pour le calcul des volumes, revient au fond à celle qui a été exposée au N" 44 et qui consiste ii regarder un volume comme la somme des tranches infiniment minces, obtenues en le coupant par des plans parallèles il un plan fixe.
En effet, l'intégrale
fii,y)d.r.^
représente l'aire de la section M^RjR^M,, faite dans le volume V, par le plan vertical, de trace PA [fig. VJl). Cette aire est une fonction i/ii/) de l'ordonnée 0P=^^. La tranche comprise entre les deux plans verticaux de traces AP et A,Pj peut être assimilée à
"n8 COtlRS D'ANALYSE
un nylindre nyanL pour base la seetiou ^(y) et pour hauteu: |'P,=:if//; son volume est donc
'i=''A.!l)dy.
T,e voUime V est alors la somme de ces tranches
334. Remaikjle.— Nous avons supposé, pour siinplififir, f[Ti'iinfi parallèle PA à Ox coupe le contour de l'aire, à luf|uello est éten-
due l'intégrale double, en deux points seulement, M, et M^- Si la courbe C a une forme plus compliquée, il peut arriver que la parallèle PA àOj: la coupe en un nombre quelconque de points, nécessairement pair.
Mais alors on peut toujours, par des lignes transversales, décomposer l'aire C en d'autres CjjC^,.,., C„ limitées par des contours, qui sont rencontrés chacun en deux points seulement par des parallèles à &r. On calculera les valeurs I, , I^, . . ., I,, de l'intégrale double, pour chacune de ces aires partielles, et il ne restera plus qu'à faire la somme des résultats, I,+ I^-j-. ..+!„■
Supposons, par exemple, que la courbe C ait la forme de la figure 180. Menons à cette courbe des tangentes P„A„, P'A', P''A", P"'A"', parallèles à 0^ : elles partagent l'aire en quatre parties
CALCUL D'UNE INTEGRALE DOUBLE EN COORDONNEES POLAIRES âig
1,2,3,4, (£ui sont : 1, la partie EA„B ; 2, la partie FIIK; 3,1a partie KEBL; 4, la partie FKLM.
Le contour de chacune de ces parties n'est rencontré qu'en deux points par les parallèles à Ox. On calculera les valeurs I|,I^,lj,I( de l'intégrale double étendue successivement it ces quatre parties. L'intégrale étendue à l'aire entière sera
in. - CALCUL D'UNE INTÉGRALE DOUBLE EN COORDONNÉES
335. Méthode. — Appelons r et 'i le rayon vecteur OM et l'angle polaire xOM d'un point M du plan des .rij. Pour évaluer, en coordonnées polaires, l'intégrale double
pliine (lu plan des .rij. limitée p;ir une eomlieC!,
on décompose cette aire en éléments superficiels înfiniir tits du par les deux familles de courbes [fig. 181)
Le
irbes i--=C'' sont des cercles de centre 0 ; les coni'bos 6:=C'' sont des droites issues de l'origine. Un élément superficiel dm ainsi obtenu, est un rectangle curviligne ABCD (fig. 182) limité par deux droites OAB et ODC, faisant entre elles l'angle
',■2,. COURS D'AyALYSF:
liiliiiiinciit petit d% et pur deux arcs de cercle BC et AD, Jiyaiit pour centre 0 et pour rayons respectil's r-\-dy et /■. Cet élément infiniment petit peut être iissimilé il un rectangle ABCD, dont !es ciMés AB ^ rfr et AD = »■(/&; su siirfiiec est donc dt.i — rdMr.
Cuiiime, d'iiiîleurs, ■^-'-'— ''^
.r = reose, ^/-^/'sinB, riuli'grale douille s'éeril
/•//■{^■, r II"' -/'/■/■l'co, 9, ,.si„ Oj ,d<uh.
expression de lu forme
»(r,Ô) désignant une fonction de r cA B.
Remabque. — En écrivunt que l'aire ABCD est égale AB.AD, on néglige des infiniment petits d'ordre supérieur, qui n'ont pas d'influence sur la valeur de la somme. Si l'on veut présenter le raisonnement rigoureusement, on remarquera que, en désignant
par iO l'angle AOD et par A/- le coté AB, on a
lOBCel OAD. K,i
uîre ABCD ■-
= iw=-^[(V + A/')^-
■ur l'uire 4w est la dlfi; ■éduîsant
M'ence des deux secteur
=(^,.A,. + J i,.= )if,.
L'inlégralo
est alors la Ilmile de 1,
>(r,b) ^rV+-^i/-^\i6.
Celle limite est la n
lème qne celle de la soi
, pl„.
CALCUL D'UI\'E INTÉGRALE DOUBLE Ei\ COO/tDOXKEES POLAIRES iïl
car le rapport de deux termes corresponduiils de ces deux sommes
tend vers 1, quand i;- et i9 tendent vers /.éro. [.r; volu donné pai' la limite de la somme
est doi
1 disant qu'il est donné par l'intégrale double
■drM.
calculer, eflectivenient, l'inlégi
Calcul de l'intégrale,— l*ou c'est-it-dire pour l'aire la somme des cylindres élémentaires »(/■,&) rdh dr, relatifs à toutes les aires élémentaires dtA dans lesquelles on a décomposé l'aire limitée par la courbe C, faisons d'abord la somme des prismes compris, entre deux rayons OP et OP', faisant, avec O.r, les angles polaires .rOP ^= 0, ,.rOP'=^()+</e, où d% esl infiniment petit (fig. 183) .
Nous obtiendrons ainsi une tranche T du volume, tranche comprise entre les deux plans ;0P et ;0P'. Cette tranche est une somme de termes de la forme
i même pour tons les termes ainsi que ft.
dans laquelle rffl est li On peut donc écrire
Supposons l'origine 0 extérieure a lu base C. Si on appelle M, et M^les points où le rayon OP coupe la courbe limite C,/-, et r^ les rayons vecteurs OMj et OMj de ces deux points, il faudra, dans la somme
re varier
,■ de ,
; cette somi
ne ) c
iple p.!.
,e, par i
rappo
Lt à r, de ;■,
à ''o, et
Les limites r^ et r,^ sont des l'onctions de 9, définies pav forme de hi courbe limite. L'intégrale
est donc une fonction '^(O) et on a finalement
Après avoir évalué ainsi la Irunche ï, il taut (aire lu somme de toutes les tranches analogues, obtenues en fuîsaiitvarier 5. Si l'on mène, de l'origine, les tangentes i» la courbe C, OA, etOA', faisant avec Ox des angles 9^ et 8', il faudra faire varier 9 de \ à fl'. La somme des tranches T, c'est-ii-dire le volume V, est alors
v yx^jj%(0}
Le volume s'ojjticnt donc par deux (juadratures successives. En reiiipluçanl '!(&) par sa valeur,
jy '■■":'■'•'■■
'R peut éciii'e
>ù il faut commencer par calcider l'intégrale de droite ; cette
CALCUL D'UNE INTÉGRALE DOUBLE EN COOUDO^NÉES POLAIRES 5s3
1 la multiplie par i/Q et on intègre pyr
intégrale étant calculée, rapport a 9, de 6„ à S'.
Quand on opève ainsi, ou dit qu'on iutcgrc d"al)o port à ;-, puis par rapport à Û.
336. Exemple. — Soit une sphère, dont le centre est à l'origine et dont le rayon y nne longueur a. La figure 184 représente le huitième de cette sphère. Dans le plan des xy, sur le rayon OA (dirigé suivant O^) comme diamètre , décrivons un demicercle C. Nous allons calculer le volume du cylindre qui a pour base ce demi-cercle et qui est limité supêriei surface étant
nt par la sphùrc. I, 'équation (
s dans le plan des
Le volinne V est alors
V =//=,;.„ =/Jv/?=7î ,*,/.,
l'intégrale étant étendue à l'aire du demi-cercle de base. Soient OP et OP' deux rayons infiniment voisins faisant, avec Os, les angles 9 et 6 + (?9. La tranche T du solide, comprise entre les plans ;0P et rOP,, est
T = d<iJ'Wa-—r'rdr,
Tj et r^ étant les rayons vecteurs des deux points M^ et M, où OP rencontre la demi-circonférence limite. Le point M^ est évidemment en 0, i\^0.
QuaiH. au layuit vcctoiir ^2= OM^, le triiingle rectangle AOM^ lonnc immr'diaioineiit
é.juallon polaire de la demi-circonférence de l.ase). On a dc.i.c L'iiitégi'ale indéfinie étant
iilégrale définii
3es-
l'li)d^.
Le volume est lu somme des tranches T: pour les obtenir toutes il faut faire tourner le rayon OP de 0,t jusqu'il 0(/, c'est-ù-dire ■
faire varier & do 0 a ^ . Donc :
[ — cos-
S) .in 8.
1 volt que 1
"lut
égrale
indéfi.
!+co,l
ile est
et
rintégriile
finie
Done, eiiCi
