CALCUL D'UNE INTEGRALE DOUBLE EN COORDONNEES POLAIRES

lia différence entre figure 184, et co volui

le huitième de la sphè

337- Remaiique. — Si un rayon vecteur, Îsbu de 0, coiipiiit la courbe C en plus de deux points, il la couperait en un nombre pair de points : i! entrerait dans C en M,, sortirait en Mj, rentrerait en 5Ij, resortirait en Mj, . . II faudrait alors intégrer par rapport à /* do r^ à i\, puis de

338. M^odifications à apporteraa calcul précédent, quand l'origine est dans le champ d'intégration. — Mous avons supposé 0 en dehors de la base C ; quand O est dans la base, il faut modifier évidemment les valeurs des limites des deux intégrations. Tout d'abord {fig. 185) pouravoir une tranche du volume comprise entre deux rayons vectei sant entre eux l'angle db, il faut faire 1: •f(*',6) r dH dr, en faisant varier r de 0 {poini où OP sort de l'aire C).

est une fonction de 6, doi

s cette intégrale / c la courbe C. Oi

donc, en supposant l'intégralion

Il faut ensuite faire la somme de toutes les tranches analogues. Il est évident que, pour les obtenir toutes, i! faut maintenant faire varier 9 de 0 à 2t:. On a donc finalement

= Ç\\ (Q) rfO =Ç' d^ri {r, H) rdr,

yGoosle

COCRS D'ANALYSE

faut calciilev d'abord l'intégrale de droite, prise par rapport

339. Autre façon de calculer une intégrale double en coordonnées polaires. — Au lieu de commencer par faire la somme des éléments, compris entre deux rayons faisant entre eux un angle infiniment petit d^, on peut commencer par faire la somme des éléments de l'intégrale, compris entre deux cercles de centre 0 et de rayons /■ el /-+-'''■ Supposons, pour fixer les idées, O exté-

rieur à la base. (Considérons {fig. 18G) un ecrcle de rayon /', coupant la courbe limite C, aux deux points M, et M^, et appelons 6, et 6^ les angles polaires correspondants arOM^ et j:OM^. Considérons ensuite le cercle infiniment voisin de rayon r-\-dr. Ces deux cercles découpent, dans la courbe de base, une tranche ayant la forme d'une couronne, nous allons calculer d'abord la somme des éléments de l'intégrale

o (r, ^)?-d^dr,

situés dans cette tranche. 11 faudra faire une sonimo de termes tels cjue

T^^.ir,<>)r.

mais, pour tous ces termes, /■ et dr onl la n écrire la somme ï

CALCl'l, D'Ui^E INTÉGRALE UOL'IILE Ey COOIiDONXÊKS l'OLAIRKS '127

l'angle polaire fi varie seul d'im ûlijuienl à l'antre de la trunche T, el il varie de 6 ii 6,. Ou w donc

Les angles 0, et 6^ sont des l'intégrale

! fonction de ;■, '\[i')-, et on a

On a, ainsi, la parue T de la somme, corrcspondanl ;i la couronne considérée ; il faut ensuite faire la somme de toutes les couronnes ainsi obtenues, en faisant varier r de façon à balayer tonte l'aire de la courbe C. Si l'on fait décroître ;■, on voit que la pins petite valeur de r est le rayon r^ d'un cercle tangent, en A, il la courbe du côté de G ; si, au contraire, on fait croître /■, on voit que la plus grande valeur de r est le rayon >•' d'un cercle tangent en A' à la courbe du côté opposé à 0. On aura donc toutes les tranches auxiliaires telles que T, en faisant varier v de i\ 'a /, et de tontes ces tranches sera

En remplaçant i(r) par sa valeur, on peut éci'ire aussi

où il faut commencer par calculer l'intégrale de droite.

Quand on opère ainsi, on dit qu'on intègre d'abord par rapport à 6, puis par rapport à r

ivons suppose I

pôle 0 hors de la courbe C. S'il était

dans l'intérieur, il y aurait deux sortes de couronnes suivant les valeurs attribuées i» r.

1" Pour /■ pris au-dessous d'une certaine limite ;■„, on aurait des couronnes fermées situées tout entières dans l'aire. Pour éva-

kier la tranche il 9 de 0 à 2ti

■sipoiidaiife T, il l\uidra iutcgrt

iia ensuite lii somme des Iranclics u ■e sorte, en l'iiismit varier r de 0 ii /■

; T de cette pre

2" Si on [jiend ensuite /■ plus grand (jne '■„,on olitient des cei'cles, coupant la courbe en denx points M, et M^, et la partie correspondante du volume s'évalue comme dans le cas précédent.

340. Aire d'une surface courbe.— L'évaluation de l'aire d'une portion quelconque de surface coui'be conduit au calcul d'une intégrale doulde étendue ii une aire plane. Considérons une portion de surface courbe, limitée par un contour ahcd : pour évaluer l'aire de cette surface, inscrivons dans la surface une surface polyédrale îi facettes planes [fig. 187). L'aire de la surCacc courbe est la limite vers laquelle lend la surface du polyèdre inscrit quand, le nombre des laces augmentant indéfiniment, chacune d'elles tend vers zéro en se réduisant à un point M, de vers le plan tangent, en M, à la

telle façon que surface courbe.

Soit io- l'aire d' l'ace courbe est

e des facettes du polyèdre, l'aire S de

AIRE O'LWE SUm-'-iCF. COUliDM Jïg

le signe N incliquanl qu'il fuvU luire la somme de toutes les facettes du polyèdre. On écrit, pour abréger

da désignant une facette infiniment petite.

Si l'on projette la surface courbe sur le plan des xij, le contour ahcd se projette suivant une courbe C. Nous supposerons, poui' simplifier, que la surface courbe se projette tout entière dans l'intérieur de C et que toute parallèle it 0;, ayant son pied h l'intérieur de C, coupe la surface courbe en un seul point. Si ces conditions n'étaient pas remplies, on pourrait toujours découper la surface courbe, en morceaux remplissant séparément ces conditions.

Les faces du polyèdre inscrit se projettent suivant des éléments d'aire du contour fermée C. La face An, par exemple, se projette sur le plan des xij suivant une aire plane Au, et on a

Aw=:^-iT COS C, Xi - ■■ ■

a désignant l'angle aigu du plan de la fact! ic avec le plan des xii ; on a alors

""Zj "" ' Zj cosi

Quand la face Ao se réduit îi un point M de la surface courbe et que le plan de Ao tend vers le plan tangent en M, a tend vers l'angle ). que fait le plan tangent en ftl avec le plan des xy. On en conclut que l'on a aussi

somme étant étendue à tous les éléments superficiels de la irLe plane C. Ln efi'ct, dans ces deux s