VI

en supposant, connue dans la figure 184, z positif pour les ])oints de l'aire E. Alors

rintégralc étant éLcndiic à Taire plane C.

Il est d'ailleurs évident géométriquement que cos î,=^ — , car, en joignant le point 0 à un point M de la surface sphérique, on ((Ijtient ia normale, en M, faisant avec Os un angle égal à ),. Kcrivaiil que la projection de OM sur 0: est ::, on a

donc

Supposons, par exemple, que la courbe C soit la demi-circonlérence décnte, dans le plan des xy, sur OA comme diamètre îfig. 184). Pour évaluer l'aire sphérique qui se projette dans cette demi- circonférence C, nous calculerons l'intégrale double précédente, en prenant des coordonnées polaires ;■ et 9 dans le plan des :i\'/. JVoiis aurons

/• f vdMr

53a COURS D'ANALYSE

Intégrons d'abord, par rapport à r, en évaluant la partie T de la somme correspondant anx éléments situés entre deux rayons OP et OPj faisant avec Ox les angles 9 et 6 + d^. Pour tous ces éléments, 6 et rfS sont les mêmes et r varie de 0 à 0M^= a cos 0, Mj étant le point où OP rencontre la demi-circonférence ; la somme des éléments considérés est donc

\la

étani —

\Ut' -

^\ on

= ad^ {-

-«sii

Reste il faire la somme des tranches d'éléments telles ([uc I en faisant varier le rayon OP depuis la position Çix jusqu'il Oy, de façon \ balayer toute l'aire du demi-cercle. Il faut, pour cela, faire

varier 9 de 0 à -^. On a donc enfin

S=.YT = «^J'{l-sine)<ffl.

L'intégrale indéfinie est 6 + cos 6 ol Vinté^friile définie

Théorème deViviani. — La courbe K, limitant sur Li sphère l'aire S, divise le huitième de la sphère représenté sur la figure i84 en deux parties : la partie, intérieure à E, a pour surface S ; la partie extérieure a pour surface le huitième de la surface sphérique totale, moins S,

Cette partie extérieure est doue équivalente au carré de côlé a. C'est là le théorème de Yiviani.

If/Il-; DUNE SUIU'ACE COLliDK 'iM

342. Antre exemple général d'intégrale double. — Soit Qiie portion cle surface courbe, limitée par mi contour ahcd (fig. 187) qui se projette horizontale ment en C. Soit, d'initre part, ^ une fonction continue, ayant une valeur déterminée, en chac[ue point de la suriace. Divisons la surface en éléments superficiels infiniment petits (h et considérons la somme des produits obtenus, en multipliant l'étendue d<^ de cliaque élément par la valeur de 'i sur cel: élément. Cette somme est une intégrale double

On peut la ratneiier à une intégrale double étendue, à la projection de la surface sur le plan des j:>j, projection limitée pai' 1.1 courbe C.

V.u effet, en appelant d<'i la projection de th sur le plan des xij et >. l'angle aigu du plan tangent à la surlace au point limite de lia avec !e plan des xij, on a

rfc^r/.cosX, d'où

(lomme plus haut,

est une fonction de j: et y; la fonction à, étant connue en cliaque point M de la surface, est une fonction des coordonnées x et // de

3 point. Donc :

sî."

1 calcule)

tegn

étendue à l'aire plane limitée par la courbe C. On la calculera, comme précédemment, en employant des coordonnées rectangulaires ou des coordonnées polaires.

COCRS D-AKAf.V.'iL'

V, - APPLICATION, - INTÉGRALES EULÉRIENNES

343- Intégrale eulérienne de première espèce. — Soient a et b, deux constantes positives ; on appelle intégrale eulérlenne de première espèce l'intégrale

Cette intégrale a un sens tant que a et b sont positifs ; elle

devient infinie, si un des nombres « et i est nul ou jiégatif{^°VZO).

La valeur de l'intégrale ne change pas, quand on permute

'( et h. En effet, si on change de variable en faisant

les limites deviennent 1 el 0 ; en iuteivertissant t changeant le signe, on a l'intégrale

c'est-ii-dire, puisque la valeur d'une intégrale défini pus de la variable d'intégration,

Faisons encore le cliangemeiit de variable [.es limites deviennent 0 et -^ et on a

Par exemple, en faisant

. limites el

On ramène le calcul de ces iiilcgriiies au calcul d'intégrales dépendant que d'un paramètre de la façon suivante.

344. Intégrale ealérienne de deuxième espèce . — Soit a v constante positive; on appelle iutégralo eulérienne de deuxîè espèce, l'intégrale définie

Cette intégrale devient infink' . tjnund a est nnl ou nég.'itii (N* 131). En faisant :

|-H=2p-'e-,lf.

Voie! (jnclqncs théorèmes sue ces intégrales, l" On a

Kl) effet, supposons [a — 1) positif, écrivons \'{a].=^—{ n^-'ite.--", et intégrons par parties ; nons aurons

r («) = L- " u" - ' I " + [a — 1) fu'-'e- "du.

La partie intégrée est nulle aux limites, car k""' s'annule poui' H=0 et e"" pour u=cc . D'ailleurs l'intégrale / ii"~"e~"dn est égale à r{a — 1). Le théorème est donc démontré.

Par l'application répétée de ce théorème, on ramène le calcul d'une intégrale eulérienne T («) au calculd'une intégrale analogue, dans laquelle a est compris entre 1 et 2. En effet, a étant compris entre 4 et 5, par exemple, on écrira :

36 COURS d'a.x.iltsf:

t on sera riimené à une îiitégiale, oii le pitramètrc (( — 3 i ompris entre 1 et 2.

2" Si a est un eutiev positif, on a

En effet, d'après la propriété précédente, on a

Donc, quand n nst entier positif,

Reste il ealeuler

l'intégrale indéfinie est — e~"' et l'intégrale définie l. Donc r(l)^l, ce qui démontre la forniiile.

On peut remarquer que r(0) est inlini : en eil'el

cette intégrale est infinie, car l'élément différentiel devient infini pour la limite inférieure ii = 0, comme— (N" 131). Ainsi, on a

r{2) = l, r(3; = l.2, f(4) = 1.2.3, etc.

Zi^- Réduction des fonctions B{û,/j) aux fonctions V. — Soient a et b deux nombres positifs, eonsidérons la surface ayant pour équation

Proposons-nous d'évaluer le volume limité, latériilenient, par les plans ^0^ et yOz; infcrieuremenl, par la partie indéfinie du )>laM

lyniGRALES EULÈRIENNES ">Sj

cks xt/ située duns l'iiiigle positif -cOj/ et, supérieure inenl.. pai' hi surface l/i). Ce volimie est

l'intégration étant étendue ii l'angle indéfini a.-Oi/. Nous olitiendrons la formule que nous avons en vue, eu employant, successivement, pour évaluer ce volnuie, les coordonnées cartésiennes et les coordonnées polaires dans le plan des j:y.

En coordonnées cartésiennes, ,- 5^////// on a /

•1' dxihj.

Si nous intégrons d'abord par rapport à ,f, en donnant à t/ une valeur constante OP et i» dy nne valeur constante PP, {fig. 188), nous avons h faire la somme

T = //-'' ~ ' e ~ "' di/ I j.'-" ~ ' e" " ■" (/,(■ ,

,f variant de 0 à ai , car l'aire qui sert de base au volume est l'angle indéfini de .,0//. Comme on a

la tranche 1' est donnée par

T = , f -■,'-'-. Il, 1-r a).

11 faut maintenant faire îa somme de ces tranches en faisant varier

V=^-j-r{»)j/y"-'<î- »■<«;,, ijtégvale étant -^ ^"C')' "" " ""''" •

COURS B'AXALYSE

Prenons iiiitiulenant des coordonnées polaires, dans le plan des j^!/. L'élément superficiel <Ai) doit, alors, être pris égal à rd^dr. L'équation de la surl'ace devient en faisant

et le volume V est donné par

Y=ffzd>^ =ff'-^" ^ -" - V- '-oos'" - ' 8 siji^" -- ' 9</0 dr.

Il faut étendre cette intégrale à l'angle indéfini .vOi/. Prenons d'abord la somme des éléments compris entre un rajon vecteur OA, faisant avec Ox l'angle 9, et le rayon infiniment voisin OA', faisant avec Ox l'angle ô + d^. Dans la tranche T, ainsi définie, 6 et d^ sont constants, /■ varie de 0 ii co . On a donc

Cette dernière intégrale est -^y- F ^d -)-/'), comme on le voil, en changeant dans l'expression

a cnci+lj. Donc

T= i- cos"- - • 9 siii" - ' 6 M. r ;» + 4).

Le volume entier est la somme de ces Iranelies, éleinlne à tout l'angle .cO^, e'est-ù-dirc obtenue, eu faisant varier 0 de 0 à -^ .

dernièie intégrale est

V=ir(<. + S)B(«,S),

Égiiiant ces dotix vuleiu's du vciliime V, ou a hi locmiile cherdice :

("cunme appliciition de coltc l'ommle, faisons

Mais ril) = l, B^-i, ^)=-^ comme nom l'avons v» phnhanli il il l'itiil prendro la valeur positive, eav l'(-^)esL positii'. Cotumu n l'iiisitnl rt = -— , on nlnient l;i lornuile

346. Tables numériques. — On trouvera à la page GO des tables de UouGl, déjà citées, une table donnant les valeurs de log r(l+j") pour les valews de x comprises entre 0 et 1. Cette tiible permet de calculer la valeur de r(«), pour a quelconque, car, à l'aide de la relation

on peut toujours ramener l'argument il être compris entre i et 2.

La même table permet de calculer les intégrales B, car ces

intégrales sont exprimées par des fonctions T par lu Tormiile (5).

COl'RS J}'A.\.{I.}-.S