COURS D'A

tante, ou uni; sous-tangente constante (N'"151-.l55), nous avons été conduits à intégrer une équation différentielle du pvemiei' ordre. Dans chacun de ces problèmes nous avons trouvé que les courbes, répondant à la question, contiennent, dans leur équation générale, une constante arbitraire. Ainsi, les courbes ayant une normale de longueur constante donnée, a, sont définies par l'équation diffère nlicllo

qui est An premier ordre. En l'intégrant, nous avons trou\(', pour équation générale des courbes demandées, la suivante :

contenant une constante arbitraire x^. Ces courbes sont, comme on pouvait le prévoir géométriquement, des cercles, de rayon donné a, dont le centre est un point quelconque de 0^.

Nous avons eu ii intégrer des équations du deuxième ordre, quand nous avons cherché les courbes planes, pour lesquelles le rayon de courbure est proportionnel à la normale :

Nous avons trouvé, en intégrant ces équations (N° 222), des courbes dans l'équation desquelles figurent <^e2(^ conslantes arbitraires. Par exemple, si on prend k =+ 1, en cherchant les courbes dans lesquelles le rayon de courbure égale la normale, on est conduit ii intégrer l'une des équations différentielles du deuxième ordre :

ii+^'

. prenant le signe -\-, on liouve, par la riictliodc indiqué! ' 122, la chainetle :

yGoosle

aKSÉR.ii.irf:^ .^i:iî i.r.n r.quATiOKs différestiklles '> ima.€t^sontdfir.rconftlaiilcsfjiieh'onqiietf,et, enprenantle sigiic les Cf^i'cles

où 3. <-t l'i sDiit ileii.f roiis/ii'ilcs qUL'IroitfjiiP.s.

353. Intégra,le générale d'une équation différentielle. — J.c, fiiit, observi; dans les exemples que nous venons de rappeler, est général. Ktant donnée une équation différentielle d'ordre ii, 11 existe nue famille de coiirlies, dont l'équation eonti'ent n constantes n!l)ltr;iii'os:

et qui sont telles que leur ordonnée y, considérée comme fonction de l'abscisse, vérifie l'équation différentielle, quelles que soient les H constantes arbitraires. Cette équation (3) est ce qu'on appelle l'intégrale 'générale de l'équation différentielle. On peut, théoriquement, la supposer résolue par rapport il '/ et l'écrire :

^=rs;.<', c, ,(:,,. ..,C„).

Ainsi, dans les exemples que iiiius venons de rappeler, l'Intégrale générale de l'équation du premier ordre

îivec une constante arbitraire .i-„.

L'intcgi'ole générale de l'équation du deuxième ordre :

- =:!/Vl+'J

-rt

avec deux constantes arbitraires * et ^.

Nous allons maintenant nous occuper eu détail des équation; du premier ordre.

corns fl'.j

II, - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DUNE FAMILLE DE COURBES DÉPENDANT DUN PAHAMÈTRË INTÉQRALE GÉNÉRALE D'UNE ÉQUATION DU PREMIER ORDRE.

354. Equation différentielle du premier ordre. — 1,'iic (';([ii;ition différentielle du premier ordre est de hi forme

Nous regarderons .r et >/ comme les eoordoiiiiées eitrtésieiiuos d'un point d'un pliin.

\ous allons démontrer les deux théorèmes siiivuiits :

1" Etant donnée, dans le plan des xy une famille de coin-hes

dont Vèqriatioa contient une constante arhilraira C, [ordonnée d'une quelconque de ces courbes, considérée comme fonction de l'aliscissc, vérifie une équation différentielle du premier ordre, indépendante de C.

Cette équation différentieile est ce qu'on appelle [équation différentielle des courbes (4). Sa formation n'exige que des dérivations et des éliminations.

2° Réciproquement, étant donnée une équation différentielle du

u-dre :

// c.riste toujours une famille de courbes planes

dépendant d'une constante arbitraire C, telle que l'ordonnée d'une de ces courbes, considérée comme fonction de- l'abscisse, \'érifie l'équation différentielle, quelle que soitC

EXISTEyCE DE 1/ tXTEQH A LE G K .\K R.l L F. 5>1

L'équation de ces courbes

(tonne ce qu'on appelle Viiilcgrale générale de l'équation différentielle. La fornitiliim dt^ cette équiitîon ^ ^^^ 0 constitue Vinlàgralion de l'équation.

355. Équation différentielle d'une famille de covvbes planes dépendant d'une constante arbitraire. - - .S"il :

l'équation d'une laniillc de courbes, où C désigne une constante iirbitTiiirc. Quand C varie, ces courbes se déplacent et recouvi-eiil une eei-taine région du plan. Par un point M, pris dans cette région, passent une ou plusieurs des courbes, car, si on assujettît la courbe (4) i» passer par un point donné, on a une équation déterminant C et donnant pour C une, deux,.,.,yj, valeurs suivant qu'elle est, par rapport îi C, du premier, deuxi{;me,....,p'°""' degré. Cherchons le coefficient angulaire de la tangente à une des courbes passant par le point M (.r, //). Ce coefficient angulaire est défini par l'équation

■5 -f + ii^^o,

&r ûij i/.r

obtenue en dérivant (4) P"'' rapport ii .i: et regardant // comme fonction de ,r. Si, entre les équations (4; et (5), ou élimiiic C, on obtient une équation

:fi] p(.r,?,,j!L\ = 0,

définissant -^ en l'onction de .i: et //. C'esf lîi l"(>(jiiation différentielle des courbes (4;.

On peut interpréter cette équation en disant qu'elle détermine le coefficient angulaire -r- de lu tangente it celles des courbes (4), passant par le point M de coordonnées ,f et //. Cette équation (6) pent être d'un degré quelconque en —j— . Klle donne

55"! COURS D'A?>-ALySE

alors plusieurs valeurs pour -~, quand i et v/ --oui donnes i.tl i veut dire que, par le point donné M (x, i/), passent plusieurs coui bes de la famille considérée, et l'équation lournit les coelTicients

angulaires des tangentes à ces diverseï^ combes m point M

— Considérons l'équation

te des paraboles, ayant pour axe O.i; et pour tangente au sommet O^ (fig. 192), l*av nu poini quelconque M (je, y) du plan, il passe une de ces paraboles, car on peut toujours déterini-

—^ ner C, de façon que l'équation (7) soit satisfaite par les coordonnées d'un point quelconque. En dilï'éveiitiant l'équation f7), on a la

définissant le coelTicieiil angulaire, -y—, de ta tangente ii l'une des paraboles au point (x, y). L'élimination de C entre les équations (7) et (8) donne l'équation difFéreiilielle des paraboles considérées :

Cette dernière équation peut être regardée comme donnant directement le coellicîent angulaire de la tangente à celle des paraboles qui passe par le point {x',y)-

Inversement, en partant de cette équation différentielle (9) et en l'intégrant, on peut remonter a l'équation générale (7) des paraboles. Hn elTet, écrivons cette équation difTérentielle

•Idi, J.iy ^ .(■ ■

Nous remarquons, alors, que le premier membre est la difl'é-

l^.XrSTEyC'E DE L'iyrÉGRALE GÉXÉISALE 555

vciitioUe de 2 log//, le deuxième de logj', et nous avons, en iiilégi-ant,

]i)g2(; désignant une constante iii'blti'aii'e. Oit peut éciire logi/'==Iog2C.(,

l,es paruholes, iiiiisi retrouvées, liiuvuissent l'intégrale générale de réqnation diilerentielle '^)).

Kxriu'j.E II. — Considérons les cercles ayant piiur équation

où C est une constante arbitraire. Os cercles ont leur centre sur O.)', et le rayon de chacun d'eux est égal ii la moitié de

TabsciKso du centre. Ils reeoitvronL loute la [xn'tîon du plan située dans les angles aigus des deux droites AOA', BOB' iX^*-. i^dZ) , ayant pour équations

Ces deux droites constituent Tcnveloppe dos cercles, quand C varie de — co ii H-co . Par chaque point M (j-, y), situé dans l'un des angles AOB ou Â'OB', il passe deux des cercles (10). Cherehons les eocflïcîentg angulaires des tangentes ù ces deux cercles.

COURS D'ANALYSE

JlpOI't î

En diffévciitianl l'cqualion [10) par comme fonction de x, on h

r, en y rogart

!/' désignant In dérivée de y par rapport à .v. L'élimiiiiilîon de C entre les deux équations (10) et (12), donne

fl.3) i,jY' + ^7/-(s + 7jyf = 0.

C'est là l'équation différentielle des cercles considérés (10) ; elle est du deuxième degré en y' : cela tient à ce que, par un point M (j", y) du plan, il passe deux de ces cercles. Comme les cercles considérés recouvrent la partie du plan, située dans les angles AOB et A'OB', on peut prévoir que l'équation différentielle (13), donnera pour y des valeurs réelles, seulement quand le point M (,r, î/) sera dans l'un de ces angles. Hn ciFet, pour que l'équation (13) en y' ait ses racines réelles, il faut et il suffît

ce qui montre que les coordonnées .r et y du poinL M doivent rendre positif le facteur j'^ — 3^^) ou encore que ce point doit être situé, par rapport au système des deux droites x^ — 3i/^ =0, dans la même région que l'axe Ox : ce qui vérifie bien la proposition. Il est intéressant de voir quelles sont les positions que doit prendre le point M, pour que l'équation en t/' ait une racine double. Alors le produit

do il

èlre nul. Don.

cercles

L bien le point M doit être sur l'enveloppe

ce qui est évident géométriquement, car, quand le point se placer sur l'enveloppe A'OA,B'OB, les deux cercles par M se confondent en un seul ; ou bien le point M doit

passant être sur

xpliquc facilement, c

1 point Qde cet a

EXlSTEi\CE DE l/IA'TÉGRALE GÉNÉRALE 'iS;

senL lieux cercles du système tangents entre eux en Q : ]es coellicienta angulaires des tangentes à ces deux cercles, au point Q, sont donc égaux. L'axe des x est, pour les cercles considérés, ce qu'on appelle un lieu de contact, lieu des points tels que les deux cercles de la famille, qui passent par un de ces points, soient distincts, mais tangents entre eux au point.

Nous avons ainsi étudié en détail l'équation différentielle des cercles (10) On pourrait remonter de cette équation diiFérentielle à celle des cercles, c'est-à-dire ii l'intégrale générale de l'équation diirérentîeile. Nous ferons ce calcul plus tard, à propos df l'intégration des équations dilférentielles homogènes.

356. Existence del'intégrale générale. Méthode graphique. — Nous venons de voir que, si l'on considère une famille de courbes planes dont l'équation dépend d'une constante arbitraire, l'ordonnée d'une de ces courbes, considérée comme fonction de l'abscisse, vérifie une équation différentielle du premier ordri'. indépendante de la constante.

Il s'agit maintenant de démontrer la réciproque. Etant donm-e une équaiioii différentielle du premier ordre

Al)

il euidle une famille de aonrbes, dont Céqn,

i dépend d'il

tante, et telle que l'ordonnée d'une quelconque de ces courbe" regardée comme fonction de l'abscisse, vérifie l'équation différenlielle donnée.

Pour démontrer le théorème, nous emploierons d'abord une méthode graphique, qui peut rendre des services dans la pratique pour intégrer approximativement une équation différentielle.

L'équation différentielle donnée (A) peut être d'un degré quel-

conque

, Considérons une des valeurs de

résolvant l'équation (A) par rapport

, obtenue e

]1 peut arriver que cette viileurde -~-ne soil réelle, que si le poiui M (x, y) est situé dans iiiie certaine région du plan. Alors, il es! évident que les courbes, vérifiant l'équation, seront nécessairement situées dans cette région. C'est ce qu'on a observé, dans l'exemple II du numéro précédent, où -j— n'est réel que si le point M est situé diins l'un des angles AOA' et BOB'.

Nous allons montrer que, par chaque point M„ (.r,„ i/^, situfdans la région où la valeur considérée

est réelle, il passe une courlte intégrale. Pour cela, remarquons que -J- est le coefficient angulaire de la tangente au point .c,;/ de la courbe cherchée : il s'agit donc de construire une courbe, passant par un point donné M,,, et telle que le coefficient angulaire de la tangente, en chacun de ses poinis, soit donné par la relation (14),

Tout d'abord le coellicient angulaire ij'g de la tangente à la i.p courbe cherchée, au point donné M„.

On connaît donc la tangente Mi^'r,, en ce point (lig. 194). Si, sur cette tangente, ou prend une longueur très petite M|jMj, on obtient un point M,, de coordonnées .r„ y, , qui est , approximativement, un point de la courbe voisin de Mjj. Le coefficient angulaire y/', de

la tangente en M, est alors donné par l'équation (14'

et on peut tracer la tangente M, T, en M,, Si, sur cette langenle, on prend une longueur très petite M; Mj, on obtient un point M,, de cordonnées .r,, )/,, qui est, approximativement, un point de la

omii'ho ■ on M., es

i: M ■■j m y i: j: ije l'ixtegrale gunurali-: ôiti

siii de M,. Le coefficient aiigHlaire y\ de la tiiiigcnt<^

et ainsi de stiilf-.

En continuant de cette l'iiçoii, on eoiisli'iiii'a un polygone M, MjMj..., dont la l'orme donnera une idée approchée de la l'orme delà courbe intégrale. On peut démontrer rigoureusement, et nous l'admettrons, que si l'on fait tendre vers zéro tous les cotés M„M,, M|Mj,..., le polygone U-nd vers une courbe vérifiant l'équation difl'ércntielle

On voit, ainsi, qu'il existe nm point arbitrairement choisi M, Iruire approximativement.

Il reste ii voir que l'équation génôrali grales contient une constunte arbitraire. Supposons, poui' fixer les idées, que l'ase Oy traverse la région du plan, oii existent les courbes intégrales. D'apvrs ee qui précède, si on prend sur O// un point quelconque A (flg. 1951, d'ordoii-

Ije intégrale passant par un III a un moven de la eons-

dc ces courbes inté-

il passe, par ce point^ une courbe intégrale C. Cette courbe change de forme et de position, quand le point A se déplace sur Oy : son équation contient la constante arbitraire y,,.

Si l'axe Oy ne traverse pas la région du plan, oii —- est réel,

«n peut prendre une autre droite D D' parallèle O^, traversant cette région , et se donner arbitrairement le point B où une courbe intégrale rencontre D D' ; l'équatiou de la courbe contient alors, comme constante arbitraire, l'ordonnée du point B.

357. r!x];>ii'Li:s. ]'r<-jiucr c.veniple. — Soit ii iiiLégicr réquiiLiou

<Lv

l'employons la méthotlt; graphique, pour obtenir la fonno des l'oiirlies intégrales. Prenons, sur la partie positive «le 0//, un point A, (l'ordonnée i/„, et traçons, ap|ii'oxiinalivcineiit, la eoiirlie intégrale, passant par ee poinl lio-, HHi. I).

!' //■„ de la la)igen[c A T, à la courbe, eu \.

!h — 'Ji>-

Si .lu prend, sur celte taugeute, une petite longueur AM, du colé des .!■ positifs, l'oraonuée//, de M, est supérieure à >,„, le eoellicient angulaire//, de la tangoule .M/l", eu re point est

cette taiigeiilc lait doui' avec () ,'■ uu aiii;l<' [dus graud .pie la tangente Mj T,. Si ou prend sur M, '\\ une petile luitgueoi' M, AI^. l'ordonnée //„ de Al„ est jilus grande ipn- //, ; le eoeffieicnl angulaire/, de ia'tangeuleeu M,

est doue plus grand ([Ue // , ot M/f, esUiu-dossus de M/l',. On continuera de cette façon et on obtiendra un polygone dont les côtés se relèvent de plus en plus et tendent à devenir verticaux. La eourbo intégrale A M 'fig. 100, 11), limite de ce polygone, a

EXISTENCE DE L'H^TÈGRALE GÉNÉRALE 5t>i

dont! une ordonnée qui croit constamment et indéfiniment ; elle présente, vers la droite, la forme d'une branche infinie, dont la tangente tend à devenir parallèle à Qy, quand tj augmente indéfiniment. Il reste a voir si la courbe a une asymptote verticale ou si la branche infinie est parabolique. Or, on peut écrire l'équation (15) sous lu forme :

intégrons le long de la courbe du point A au point M ; x varie de 0 à ,1' et y de y^{\y :

Ja "J<' 'J

(17) .r^logX, y^y^,/.

Quand y croit indéfiniment, il en est de même de j: ; la branche infinie est parabolique. On pourrait, de même, tracer approximativement la courbe vers la gauche.

Dans cet exemple très simple, nous avons une vérification de la méthode, puisque l'équation (17) donne l'intégrale générale de l'équation différentielle, avec une constante arbitraire y„.

Deuxième exemple. ■ — Soit l'équation différentielle

dy ^

Construisons, encore approximativement, la courbe intégrale, qui part d'un point A deOy, d'ordonnée ^o- AupoîntA(fig. 196, 1), le coefficient angulaire y'„ de la tangente AT, à la courbe intégrale est positif :

y'.^yl.

Si on prend, du coté des x positifs, une petite longueur AM,, sur cette tangente, les coordonnées x^,y^ de M, sont supérieures respectivement à celles de A; le coefficient angulaire y'^ de la tangente en M,,

est donc supérieur à !/'„, et cette tangente M, Tj est au-dessus

U augi (le la

courbe.

contîimaut de cette raçoii, on obtieiidry un polygone AM| Mj ...., dont les côtés successifs se relèvent et tendent à devenir verticaux. La courbe intégrale AM (fig. 197) présente donc une branche infinie, le long de laquelle la tangente tend à devenir verticale, quand y augmente indéfiniment. Actuellement, cette branche admet une asymptote verticale, c'est-à-dire que x tend vers une limite, quand dcfmiment. Pour le voir, remarquons que, le long x est une fonction déterminée de ii :

mllclli- jtent s'écrî

, le long <!c la coiii'bo,

clr = --

Inlégrons maintenant du point A, de c point M de coordonnées {x, y), nous aurot

. (0, Jj,

La première intégrale est x ; dans la deuxième, la limite supérieure y est supéi'ieure à y^ et le coefficient de dy est moindre * un théorème sur les

(lue — T-, D'ai

cette intégrale est moindrf

intégrales définies {N''32),

que

f fis.

KXisrrNCE m: l'i\téciiale ci-:si-:rA!.e ï63

Quand y augmente indéfiniment, j: croit constamment le long de la courbe, mais il tend vers une limite, car rinégalité montre que ,r reste inférieur ii la quantité fixe — . La courbe a donc une

asymptote verticale BD, donL Fabsc

-; OB est n

' que -

358. Démonstration analytique de l'existence de J'intég'i'ale — Considérons une équation différentielle du premier

s haut, résolue pai

(il- "

Ob peut, en s'appuynnt sur la formule de Mac-Laur l'aide d'une série, l'intégrale générale de l'équation. Imaginons une courbe intégrale, passant parle point A de Oy, d'ordonnée ;/„, {fg. 198). Le long de cette courbe, y est une fonction de x qui peut, sauf dans des cas exceptionnels dont nous ne nous occuperons pas, être développée par la formule de Mac-Laurin en une série

si"+.

convergente dans on inlervalle symétrique par rapport à 0. Dans ce développement, y'n,y''o,--- désignent les valeurs que prennent, pour .r = 0, les dérivées successives de y par rapport à :c. Nous allons voir que tous les coefficients de la série (18) peuvent être exprimés à l'aide de y„. D'abord on a, d'après l'équation don-

fnisant .,■ =^0, y preuil la valeur >j^ et on a .>/i=/'(0.>',)- Si, ensuite, on dérive les deux membres de (19) par rapport

Ï6i COrSIS D'ANALYSE

il x, en se rappelant que y est une fonction de x, on a

Si, diiiis cette rehition, on fait,r = 0, y = t/^,y' prend lu valeur ij'a précédemment calculée et y" prend une valeur i/o, donnée par ré([oation (20) ; cette valeur est l'onction de ij^.

En dérivantles deux membres de (20) par rapport à .t , on a :

cette relation, où on fait :f^^= 0, y = yo et oii on remplace y'^, !/„', par leurs valeurs précédemment calculées, donne y'I,', en fonction de y^. En continuant ainsi, on calculera autant de coefficients yl,y'a, y'I'--- que l'on voudra de la série {18), en fonction de j/„. Cette série définira alors, dans son intervalle de convergence, une fonction y de x, contenant la constante arbitraire y^

et vériiiiint l'équatiou différentielle : cette fonction esl l'inlrgralc générale de l'équation différentielle.

En limitant le développement ans premiers termes, on a une expression approchée de l'intégrale générale, pour de petites valeurs de a".

11 est évident qu'on peut introduire, dans l'intégrale générale, une constante quelconque C : il suffit d'y remplacer (/„ par une fonction quelconque de C :

alors y devient fonction de ,r et Ç ; y = a(.f, C|.

On pourra, de même, ii l'aide de la série de Taylor, former l'équation de la courbe intégrale, passant par un point donné U=^x^, »/^i/J, ou, ce qui revient au même, obtenir l'expression de la fonction y de x qui vérifie l'équation différentielle et se réduit h y^ pour .c =: a\. Cette expression est de la forme

yGoosle

EXISTENCE DE L'INTEGRALE GE?!ERALE *)<i=i

y'fii y'L---} désignant ici les valeurs des dérivées de y poii]'.i'=;.''^. Ces valeurs se calculent, de proche en proche, à l'aide des équations obtenues en dérivant une, deux, trois,..., fois l'équation dil'férentielle et faisant ensuite x =^:)\, y^y^.

La série obtenue converge, dans un intervalle symétrique piii' rapport à Xf^.

Pour certaines positions spéciales du point .«„, ?/„, les séries peuvent être divergentes ; le cadre de ces leçons ne noua perioet pas de faire une étude détaillée de ces cas. Nous nous bornerons à remarquer que ces cas exeptionnels se présentent, en particulier, Inutcs les fois qu'un des coeificients y',„ya,---, est infini.

359. KxrMi'i.K. — Appliquons la imUhodc ci-dessus ii Féquiition

déjà considérée. Si on dérive cette é([uation, on a successisement

On voit que toutes les dérivées sont égales entre elles et égales il y. Si donc, nous voulons développer l'intégrale générale à l'aide de la série de Mac-Laurin

nous voyons que tous les coefficients y'a, y'à,'--, sont égaux a iji, et nous obtenons l'intégrale générale

d'une série convergente. On voit que l'o y^y.e", js l'avons vu par un calent direct.

5Gli COURS D'AIVÀLySIC

360. Coefficients indéterminés. — Au lieu de calculer, de proche en proche, les valeurs des dérivées successives yi, t/'„',..., correspondant à a: = 0, y = y^, on peut employer la méthode (les coefficients indéterminés et essayer de vérifier l'équation différentielle à l'aide d'une série de la forme

En subsLiluant dans l'équation différentielle

et écrivauL que les deux membres sont identiques, o suite de relations permettant de calcnicr a,, (?,,..,, / de .'/g. Prenons, par exemple, l'équation

iin y substituant le développement (22), nous avons

Si î'oj de .<■ dan

identifie les termes contenant 1 les deux mejnbres, on a

. obtient un.

, en fonctioi

d'où on tire, de proche

On obtient ainsi le développement

KquATioss lyrÊGnAULES par des quadratures ".67 i[ui donne l'intégrale générule de l'équation pour de petites