TYPES D'ÉQUATIONS DU PREMIER OBDBE INTÊGRABLES PAR DES QUADRATURES

361 . Premier type. Les variables se séparent. — SoJL une équation difTérentielie de la forme

On peut séparer les variables en mettant, dans un membre, un terme contenant uniquement y, et, dans l'autre, un terme contenant nniquement.c : pour cela, il suffit d'écrire

/ïly-i>=-

où C désigne uue constante iubitralre.

Cette relaLion donne l'intégral.c générale de l'équation difTérentielie (1).

R\EMPLE. — Considérons l'éqnation

Cette équation est du deuxième degré cw-j-. Pour que les valeurs qu'elle fournît pour -5^ soient réelles, il faut que les deux facteurs 1 — x* et 1 — y soient de même signe. Si l'on construit les quatre droites ,r = rbl, y = ± 1, elles forment un carré ABCD (/îg. 199) ; les deux facteurs t —jt et 1 -— y^ sont positifs, quand le point (j;,^)est dans l'intérieur du carré; ils sont

COURS D'ANALYSE

tous deux négiitifs, d;iiis les angles opposes par le sommet aux angles du carré ; ijs sont (le signes contraires, dans les régions indéfinies couvertes de hachures dans la figure 199. Les courbes intégrales sont donc situées dans les régions Manches.

Supposons d'abord i — a,'^ cl, 1 — y' positifs : nous écrirons, en extrayant les racines,

équation du type (1). Séparons les variables, nous avons

^l^f Vi-

D'oii, en inLcgcant,

Telle csL l'intégrale générale de l'équation. Pour voir quelles sont les courbes qu'elle représente, prenons les sinus dos deux membres : comme on a

ij=^±x cos C ± H -

ÉQUATIOyS lyTEGHABLES PAR DES QUADRATURES >6^

On peut se contenter de prendre les deux signes +, car, C étant une constante arbitraire, on peut, en changeant C en — C, changer à volonté le signe du deuxième terme, et, en changeimt C en it — C, changer, ii volonté, le signe du premier. L'intégrale générale est donc

// ^ .r cos C + /l— ^■■^'sin C,

ou, en rendant rationnel,

(y — .1- cos C/' :=. (l —.e') sinH:,

(2) ,(,■- + >/— Ixy cos C = sin^C.

Cette équation, où C est une constante, représente des ellipses, ayant pour centre l'origine et inscrites dans le carré ABCD ; en

(3) ..' + ,.,■ -2»,rj = l-«%

OÙ la constante arbitraire a est moindre que 1, en valeur absolue. Si nous supposons maintenant 1 — x^ et 1 — y^ négatifs, c'està-dire le point x,y placé, en M', dans l'un des angles opposes par le sommet aux angles du carré, nous devrons, pour évîtei' les imaginaires, écrire l'équation différentielle,

dx \/^ï— 1 '

et, en séparuiit les Viiriables,

'('/ -^ dt

icdiate et donne pour rîiitégi'alc gt

\'>f — 1 ) = log [x ± '^x'^i) + 1) ,

instante arbitraire. Si l'on passe dci 1 peut écrire

Pour rendre cette intégrale rationnelle, remarquons qii'o peut l'écrire aussi

(5) .,-v/p^r=(x^zi/.?;:T),-»,

car, en multipliant membre ;i membre les équations ^4; et i^j on obtient une identité 1^ 1. Ajoutons les équations (4) et (5), vient

ou, en isolant le radical^ élevant au carré et réduisant, (6) ...■ + ,'^ 2,», '°+^''° = 1 - ('°+ ''')'■

Cette équation, dans laquelle <ni lait

prend la ibrnie déjà trouvée (3) avec cette difl'érence que maintenant a est supérieur à 1. Elle représente des hyperboles tangentes aux prolongements des côtés du carré. En résumé, l'intégrale générale de l'équation

est

a désignant une constante arbitraire qui est inférieure à 1. quand 1 — x^ et 1 — y^ sont positifs, supérieure a 1, quand 1 — x^ et 1 — y'' sont négatifs. Par tout point M {x, y), pris dans le carré ABCD, passent deux courbes intégrales qui sont des ellipses ; par tout point M', pris dans les angles indéfinis, passent deus courbes intégrales, qui sont des hyperboles (^^>-, 199).

Remarque. — On peut passer également de la Tornie (!2) de l'intégrale générale ii !a forme (6), en supposant C imaginaire et posant :

yGoosle

ÉQVATfOXS I.^TliGRAIILr.S l'Ait D/;.S

effet, on a ulors (.\- 108)

sinC-

l,e (itit, c[iii se présente ici, est géiioriil. Lorsque les eoucbes intégrales, trouvées par un certain procédé de calcul, restent réelles quand la constante arbitraire qui s'est introduite prend des valeurs imaginaires, les nouvelles courbes ainsi obtenues sont encore des intégrales de l'équation différentielle, puisque cette équation se déduit de l'intégrale générale par l'éliraination de la constante.

362, Deuxième type. Équations homogènes . — Cnc équation différentielle homogène du premier ordre est de la forme

Cette équation est dite homogène, car elle ne change pas quand ou remplace :v pas /ex et // par ky, k désignant une constante quelconque.

On la ramène au type précédent, en fuîsaiil le eliangciuent de fonction

11 est évident

que, pour connaître i/ en fonction de

de connaître = e

n fonction de .< . Comme on a, d'après

l'équation différ'

entiello pniposée devient

)73 COURS D'AXALYSE

Les variubles peuvent alors se séparer et on peut écrito

dz dx

d'où, en intégrant.

Celte relation donne l'intégrale générale de l'équation (9), Kii yremplaçant, après l'intégration, ; par — , ou a l'intégrale générale de l'équation (7).

RxF.MPt.nB. — Soit l'équation

Cette équation, ordouuéepar rapport à --^^ s'éorît

■^.,liL

"^^isr*iV (t)""^"

Cette équation est une équatiou homogène. Faisons y = .r? et prenons le radical positivement, l'équatio devient

dz I 2 . / 1

ou, en séparant les variables et intégrant,

il) / -=i.ip: .- — inç^n

D désignant une constante arbitraire. Four effectuer la quadrature, faisons

yGoosle

eqrATioys /i\tj-:gii.uilks i'.iji des qu.i nii.trrnns 5;^ d'où

i, 'intégrale du premier membre devient

f — fidii r du , , , .,.

j „-+2„=~Jl7+T=~'°e("+^-''

o'esl-ii-dire

T. 'équation 'llj s'écrit donc

~ logVl— 3.:'H- 2] ^ log ,f — log D, ou, cil passant des logiiritlimes iiux nombres,

.rVl— 3--:' -|-2) = D.

11 resle à rompîaoer ; par -^ : on a ainsi : /.r^*— 3/ + 2,r^D, ou. e« reiulaiit rationnel.

Telle est Tiiitégrale générale de l'équation (10), avec la constante D. On voit que les courbes intégrales sont des cercles. En faisant un changement de notation et posant

iK.ns pouvons écrire l'intégrale générale

,r= -^f-^i C.r + 3 C' ^ 0, on

(,,2Cj'+y'^C'-=0.

Nous retrouvons ainsi les cercles, dont nous sommes partis dans l'exemple 11 du N" 355 pour former l'équation dilTérentielle

que nous venons d'intégrer.

COVHS D'A u homogriic-

a pour înlégriili" goiiiîra

Remabqve. — Les courbes^ j-epréseiilees par l'intégrale générale d'une équation différentielle homogène, sont homothétiques de l'une quelconque d'entre elles par rapport à l'origine.

En eftet, soit AB, uw loiirlie satisfitisitiil à l'équation

M(.r,y) un point de cette courbe (fig, 200). "" Construisons la combe A,B,, homothétique

de AB pitr rapport au point 0. Les coordonnées du point M, h'^i/,) (le cette courbe, homologue de M, sont données par les équations :

OM

=-AOM, .r, = XM-, ?/,=

( design,,,,, „„e ce

nstante. On a donc

dx, = kd^, dy, = /.d!/

IVquation (13), supposée vénfiée, entraîna

^-Kt)'

et la nouvelle coi

rbe A B vérifie la niéni

Lie équation, quel que soit /(.

La proposition est donc établie.

Par exemple, les cercles trouvés plus haut

sont homothétiques de l'un d'entre eux par rapport à 0.

liqUATIONS TNTÉGRABLES PAR DES qCAD RATVItF.S S-'i