Troisième type. Équations de la forme
■■', 6, c, a', h' , (■' déaignant des constantes.
On peut rendre homogène une équation cle ce type, eu portant l'origine an point de rencontre des deux droites obtenues en égalant à zéro les deux expressions «37-}- tî/H-c et a'x-\-b'y-\-c' . En effet, appelons a et [3 les coordonnées du point de rencontre do ces deux droites ; ou a
Faisons iilois le cliiingement de variables :
f|ui revient à h'anspoi'lor les axes au point (a, ,S) : il vient (hv = ds, , di/ = di/i
et l'équatioi
' qu'on peut é
IjC deuxième membre étant fonction du seul rapport -^ , on est ramené à une équation homogème, que l'on peut intégrer, en fai-
COURS D'ANALYSE
Cas exceplionnel. — La métliode précédente suppose que les droites obtenues en égnlunt h zéro les deux expressions a.v-\-by-\-c et a' .v -\^ b' y -\- c' ne sont pas parallèles. Quand elles sont parallèles, on »
À désignant une coiistanli:. L'écpiation proposée s'écrit aloi
dy__ V ax+hy-^c "l dx 'l \{aj,-\-by)->rc' y
Dans ce cas, oji conserve la variable x et on pose
ax + hy --^ y,,
ij^ étant une nouvelle fonction de a\ On en déduit
dy 1 dy^ a
dx II dx h
et l'équation devient
/. dx h '\ïy, + c'}-
où les variables se séparent quand on résont par rapport à KxEMPi.E I. — Soit à intégrer l'équation
( 15;. [2x + 3y + l)^:^' + (J^x + 4// + iyiij = 0.
De cette équation, on tire
dy 2,r + 3j/ + l .
dx linéaires en x et //
-5— cou duiic une i'onction du rapport de deux exprt dx
ÉQUATIONS IKTÉGItABLES PAU DES qUÂDRATlRES H'jJ
Déterminons les nombres a et ^ qui annulent ces deux exprès-
sions :
on trouve
Véqo.ti.n .\e.i,
=iit
équation /lon/'i^
nous avons Vôquation
et, en séjiariinl \i-s variables,
Dans le deuxième membre, le numérateur est hi tlifFércnlieîle tlu dénominateur ; on a donc, en intégrant,
21og,r,=-l„g(l+:l = + 2=') + logC,
fe qu'ot! peut (^rrire
log..; .l+3!H-2='J = logC,
d'où
Telle es!, l'intégrale générale de rér|uation. Revenons d'abord aux variiibles ;i\ et y, en remplaçant z par -^-^ , l'intégrale trouvée
devient :
APr.ii. A„.lj.,. J,
578 COURS D'AKALYSE
Si, enfin, on revient aux variables x et y par les Ibrnuilcs (16),
on a l'intégrale générale île l'équation proposée (L5), sous l;i forme
Vériâcation- — Dans cette équation (15), le premier membre est une clifFérentielIe totale exacte, car la dérivée du coefficient de dx, par rapport à y. est égale à la dérivée du coefficient de ây par rapport à x. La théorie des différentielles totales ii deux variables (N° 318) nous montre alors que l'équation peut s'écrivi'
<l {x' + Zxy + 2f + .r + î/) = 0 ,
La fonction soumise à lu diffcrentiation est donc coostaule, li' long d'une courbe intégrale ; ce ([ui donne l'intégrale générale (18).
KxEMi'LE II. — Soit à intégrer l'équation :
Actucllemcnt, les deux droites obtenues, en égalant à zéro hnumérateur et le dénominateur, sont parallèles : les coefficients de .V et y sont proportionnels, dans les deux termes du rapport. Nous ferons alors :
,1., +' \2,i,+ ll '
HQUA'J'IOM'^ lyTÉr.RAISI.KS P Ml DES QCADRATV RES Sjy
Four intégrer le deuxième membre, on décompose la fraction .iitionnellc, en //,. en fvaetions simples. On ii ainsi :
■'=x*. +Tr'"S".^Tr'"«'.'/,+2)+c,
n,i, ,.|, reicimut iiiix n,ri«l)lcs r i-t ;/ pur la snbslitiUlon
cl lédiiisiiiit, a|H'ès iivtûr cliassô les (iéiioniinaloms.
(!' tlésigniint une constante arbitraire.
On a ainsi l'intégrale générale do rr;qnation (19).
364. Quatrième type. Équations linéaires. — ■ (Tne équation dUr.-renîielle li/nviire d,i premier ordre csl de la lorme :
on hi nomme l/ri.^iiirc, car elle contienL llin-airement // et —^■ l'onr intégrer nue éqnation de cette natnre, posons ;2]; ,=»;,
OÙ .z esl la nouvelle l'onction inconnue de j et ii une fonction auxiliaire de .r, dont nous disposerons, de façon à simplifier l' éqnation en ;. I*ar la substitution (21), l'équation devient
Disposons maintcnani de ii, de façon il annuler le coefficient de :■ : il suffît, pour cela, de prendre, pour », une fonction particulière
vérifiant la condition :
qui donne :
et, en intégrant,
■— /tt"'-
La fonclion /( étant déterminée par cette relation, !"(>i[uation (22. devient
oii II est maintenant connu en fonclion de .i. On eji dednit ;
dz ^ ' -., '. da:, "M
En revenant ii la variable y, par la substitution ;/.:=»r.. i.n a l'intégrale générale de l'équation linéaire (21)
avec une constante arbitraire C.
Exemple. — Soit à intégrer l'équation ;
dz __du nz __
(/,(■ " d.v sin.c
Délcrminons it de laeon à annuler le eoellieient di'
n()VATioyfi i.\riiGRAni.Es p.ib des QI/ADBÀTVHES 58i
Il est inutile d'ajouter une constante, car nous ne voulons pas la fonction la plus générale annulant le coefficient de s; une détermination particulière de u nous suffit. En passant des logarithmes aux nombres, on a
«=tang^.
L'équittion eu ; devlciU ;ilois
«u, ,.,M,.m|.l,„.„.u 1-co. ., i,„ 2.in"^,
(/- = — 2si(i ^y-cos-^ dcf.
lin intégrant, un u
Comme on a posé //^= (i:, on a, enfin, pour l'intégrale de l'équation proposée.
on eiicorf , en remplaçant tang —^ par el réduisant,
11 est facile de vérifier que cette fonction rend identiques les deux membres de l'équation proposée (23).
