IV. — INTÉERALES SIK0UI,IBRB3 n ÉQUATION I

366- IntégraJea particulières et intégrales singulières. Étant donnée une équation différentielle dn pvemiei' ordre

nous avons vu que l'intégiale générale de eettc équation est délinie par une relittion

contenant une constante arbitraire. Géométriquement, on jieut dire que l'intégrale générale représente une famille de courbes planes, dépendant d'une constante arbitraire.

Quand on donne à lu constante C une valeur numérique, on obtient une intégrale, qui prend le nom à' intégrale par ticidicrc. Par exemple, l'équatioi!

étudiée au X" iilCl. a pour întôgride générale (2) .r= ^ 2,,.,,, , + ;,< = !-»■,

a désignant une ronstante arbitraire.

iyriiGRAI.ES SISaULlEHES DKS EQUATIONS IJf l'IŒMIF.R OIIDHE it

Si on donne ii ii une valeur nnnicriijue, a = 'i pur t-\('iii|ik', o Il iinf! courljf! pai'lîculîorc

vérifiant réc|nation différentielle : c'esL une iiilègrale peu tîcidièi-e. Si on fait <t = I, on ii une autre intégrale particulière

(|ui cBl repi'ûsoiiU;.^ par iino diagonale du fi'ctaîif^ir ABCD

{fis- «9j-

On appelle mtègrtile singiiUcre d'une équation diflerentieile toute solution de l'éqnation. qui n'est pas une intégrale particulière. De telles solutions n'existent qu'csceptioiinellenient. Par exemple, l'équation (P' que nous venons de rappeler admet la solution

.V=l, représentée, sui' la tigiii-e (199), pour un des côtés du carré ABCD. Cette solution ne peut pas être obtenue, en particularisant la constante a qui figure dans l'intégrale générale (21 : c'est donc une intégrale singulière,

36T. Théorème. — Quand k-s courhv.-i rcpri'sr/Héc-', /ifir l'i/itigrale gciiércdf

'l'une àqualion diU'èrciUiclh-

mil une enveloppe, ecUii ent'elop/ie est, elh'-mé/iie., une intégrale de l'équation différentielle; c'est, en général, une intégrale singulière. En effet, soit E {fig. 201;, l'enveloppe des courbes (3) : prenons un point M (,r, y) sur cette enveloppe ; appelons

i COCRS D'A.\AlY^f:

coelTiriont iiiiguliûio de In langontc Ml' îi l'i'iuclojijic, <-l^'j fA d^.i- > (lilIorcullellL's dus coordounéos corrcspoiid;iiit ii un déplacement iiifiniineut petit sur l'enveloppe.

Par le point M, il pusse une eouibe G, représentée par l'équation (3], et cette courbe est tangente à l'enveloppe, en M : cette courbe G étant une courbe intégrale, l'équation difFérentielle est vérifiée, tout le long de cette courbe, et, en particulier, au

point M ; de sort de la tangent.' M'I' ;

cpii

.appelant^!,

: V. et G (

dj- "

Al.

' dy.r '

et cela, pour tous les pointa M de l'enveloppe K : est donc une courbe intégrale.

Exemples. — 1° L'équation

■ll.e enveloppe

Il étant une constante arbitraire. Quand « > représentées par cette équation, ont pour en'

.,y-i-'-j" + i=o, y-i;(r-i;=-ii.

irie, les coniques, eloppe la courbe

ISrÊGRALES SmGVLlÈBES DES ÉQUATIOy.'^ DU l'HFMIEH ORDUE iiS;

(jui se compose des quiitre droites

lorm^iiil les côtés du ciirré ABCD {/ig. 1"J'J~. Os quaLre droites sont des coiii'l>es intégrales, comme on le volt eu écrivant l'équa- (ion

lJourj,=::±i, les deux membres soiilnuls;de même, poui'//=^±l. On a iiinsi quatre intégrales singulières.

2" T. 'équation différentielle homogène du >."" 3G2 :

a pour intégrale générale

Quand C varie, les cercles, représentés par celte équation, ont pour enveloppe les deux droites

11 est aisé de vérifier que chucune de ces droites est une courbe intégrale. Par exemple, en substituant, dans le premier membre de l'équation différentielle, la fonction

en obtlenl un résultat identiquement nul.

368. Sixième type. Équation de Clairaut. — Ou appelle '■■quation de ClairanL une équation différentielle de lu forme

588 COVIIS D'A^JALYSE

Supposons qii on résolve cette é([Uiition par rapport -Ay—x —j-^' on jiourra l'écrire :

en employant lu notation des dérivées. Noua allons intégrer celte équation (4). Pour cela, dérivons le premier membre par rapport

ce qui peiii s'i'crii'e :

(5) 5''lï + /'(,'/;l = 0-

On voit alors que les (onctions y de x, vérifiantréquatîon, sont telles que l'un des facteurs du produit précédent soit nul. Supposons d'abord

alors

et, cf

)mnie la fonction

doit vérifier l'éqnati

pl.C

lit?/' par C,

C'est là l'intégriile générale : elle est constituée géométriquement par des droites. On vérifie, immédiatement, que la fonction (6) rend identiques les deux membres de l'équation proposée.

Supposons maintenant que la fonction y annule l'autre facteur du produit (5}

Comme cette fonction doit vérifier aussi l'équation donnée, on l'obtiendra en éliminant l'inconnue auxiliaire y' entre les deux relations

L'équation entre ,r et y ainsi obtenue donne une intégrale singulière de l'équation différentielle. La courbe représentative de