INTÉGRALES SINGVUÈRES DES ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE ÏK

cette intégi'ale singulière est l'enveloppe des droites (6), qui constituent l'intégrale générale. En effet, pour obtenir l'enveloppe des droites (6), quand C varie, il faut éliminer C entre l'équation (6) et sa dérivée par rapport à C ;

j = Ci + /'(C), 0 = ,» + /-'(C).

L'élimination de C, entre ces deux équations, résultat que rélimlnatîon décentre lesdeux équations (7), car le deuxième groupe d'équations ne diffère dn premier que par la substitution de C à y'.

ExEMi'LE. — Soit un point fixe F sur l'axe Ox [f,g. 202) : trouver une ligne telle qu'en — menant la tangente en un quelconque M de ses points et joignant au point F le point T oii cette tangente coupe Oy, l'angle MTF Fig. luî.

soit droit.

Appelons a l'abscisse constante du poinl F, L'équation de 1 tangente, en M, étant:

le point T a pour coordonnées

X = 0, \'^,j~x,j'; If point F il pour coordonnées

X=ff, Y = 0.

Le cocificient angulaire de Tl'' est donc

celui de MT est y'. I^erivant que laires, on a

I sont rcctangu-

■■190 COURS n'ASALYSI-:

(V(>\i réquation de Clairaut

L'intégrale gënériile s'obtient on irinplitçnnt (/' pur C. : oll>est représentée par des droites ;

(10) ii^C,^^^

Ces droites sont les peipiMulieulaîres iiidéfinies TMI) élevées par les divers points T de Oy aux droites TF : ehueime de ces droites répond à la question ; c'est une ligne telle que la tangente, en un point quelconque D de cette ligne (tangente qui so confond avec la droite), possède hi propriété de l'énoncé.

Mais l'équation différentielle admet une autre solution (intégrale singulière), qui est la courbe enveloppe des droites (10). Pour avoir cette enveloppe, il sulfit d'écrire que l'équation (10) en € aune racine double, ce qui donne

équation d'une pariibolc île i'oyer F et de sommet ().

Hemarque. — On est conduit à une équation de Clairant, toutes les fols qu'on cherche une courbe pl.iue, dont les tangentes piissèdent une propriété, dans l'énoncé de laquelle ne figure pas le point de contact. L'intégrale générale est alors formée par les droites du plan qui possèdent la propriété en question, et l'intégrale singulière est l'enveloppe de ces droites.

369. L'intégrale singulière déduite de l'équation diffèi-entielle. — D'après ce qui précède, si l'inlégraSe générale d'une éfiuation du premier ordre

a une enveloppe, quand la constante arbitraire varie, cette enveloppe est une intégrale singulière de l'équation. Mais, pour obtenir ainsi des intégrales singulières, il faut connaître l'intégrale générale. Il est utile d'avoir une méthode pour trouver

IXTÉGRALKS SlyGl'UkUES DES KqUATIONS DV PREMIER ORDRE jgi

tlirectemeiit les intégrides singulières, quand elles existent, à l'aide de la seule équation différentielle et sans connaître l'intégrale générale. Voici , li cet égard, la règle que nous allons démontrer :

S'il existe des i?ilé.gr<ihs singulières, eiweloppes des intégrales générales, elles se irouveril parmi les courbes oh/e/ifies, en élimiminant y' entre l'ét/iintion différentielle

■uni '//te l'équation différenticlLe, i ■oiiriiii', admet ane racine double.

cent -à- dire en garde y' comnn

En efPet, l'équation diilorcnticUe, oii on regarde y' comme rinoonnne, donne les coeflicients angulaires des tangentes anx courbes intégrales, passant par un point P {x, y] du plan. Supposons que les intégrales générules aient une enveloppe E [fig. 201); <[uand le point P est voisin de l'enveloppe, parmi les courbes intégrales générales, passant par P, il s'en trouve deux, G et G', très voisines l'une Je l'autre, de sorte que les coefficients angulaires des tangentes, en P, à ces denx courbes ont des valeurs très voisines; quand le point P tend vers un point ^[ de l'enveloppe, les deux courbes G et G' se confondent en une seule G, tangente, en M, à l'enveloppe et les deux coeflicients angulaires des tangentes, en P, deviennent égaux entre eux et égaux an coefficient angulaire de la tangente en M.

Donc, si le point M (.c, y) appartient à l'enveloppe des intégi'ales générales, l'équation

:idnio

; double.

où y' est regardée comme rincomiU'

La proposition est donc démontréi'.

Mais la réciproque n'est pas exacte. Un point M (.r, y), tel que l'équation F(.r,(/,ï/')=0 ait une racine double eu y', n'est pas nécessairement un point de l'enveloppe des intégrales générales.

igs COURS D'Ay'ALÏSE

Ce peuLL'trc un poiiiL tel i[ue, parmi les intégrales générales passant par ce point, il y en ait deux distiuotes, G cl G', tangentes entre elles {jig. 203, I). Ce peut être aussi un point M tel qne, parmi les courbes Intégrales {générales passant par ce point, il y en ait une présentant, au point iî .

y'^' un point singulier avec deux tan-

""^^^•-^ gentes confondues, un rebroussc- „ "' ment, par exemple {fig. 20;î, II) . l'i,-. .ju!. D'après cela, si on cherche le

lieu des points (■f,y), pour lesquels l'équation F (j;, y, (/')^:;0 admet une racine double on y'. on trouve à la fois ; 1" l'enveloppe des intégrales générales , quand elle existe; 2" le lieu des points, par lesquels passent deux courbes intégrales distinctes tangentes, lieu qvi'o» appelle lieu de contact ; 3" le lieu des points singuliers, il tangentes con- Ibndiies, des intégrales générales.

Pratiquement, pour obtenir l'intégrale singulière enveloppe des Intégrales générales, quand elle existe, on commence donc par chercher le lieu des points {~f,//), pour lesquels ri'quiition diflFérentielle admet une racine double en ;/', c'esl-ii-dli'c qii'nti élimine y' entre les deux équations :

le lieu obtenu : en général, le premier membre de cette équation se décompose en plusieurs facteurs, et le lieu, en plusieurs eourbes distinctes. I.a solution singulière cherchée se trouve parmi ces courbes ; on la reconnaît, en essayant successivement ces diverses courbes et en voyant laquelle d'entre elles vérifie l'équation différentielle. Cette courbe spéciale est, en général, une intégrale singulière. Les autres courbes trouvées sont des lieux de contact ou des lieux de points singuliers.

n peut arriver qu'aucune des courbes ainsi obtenues ne vérifie l'équation différentielle, il faut en conclure que l'intégrale générale n'a pas d'enveloppe.

INTÉGRALES SlNCULlklŒS DES ÉQU.lTIOiSS DU PREMIER OBDRE SgS

KxEsiPLKs. — 1° Uji premier exemple simple est fourni par l'ccfiiatioii tlltréreutielle

'^iry'-^^ir ~ :■'■ + yj)- = '^

formée dans le N" 356, et déjà prise comme exemple dans les N"' 362 et 367. lin cherchant le lieu des points, pour lesquels cette équation en y aune racine double, on trouve

■compose cil

1 ,r„is ;

' '=vf'

■ '=-vT'

Les deux preuiièies l'onctious vérifient !'é(juation ; ce soni des intégrales singulières. La troisième y ^^ 0 ne la vérilie pas : elle définit un lieu de contact, comme nous l'avons vu page 557.

2" Soit l'équation différentielle

Kn écrivant que cette équation du deuxième degré en //', a ses racines égales, on a la conditîou

;/(3-iî/;';i-i/) = u.