V. - REMARQUES SUR LE GHANOEMENT DE VARIABLES

3T0- Échange de la fonction et de la variable indépendante. — Dans ce qui précède, nous avons constamment considéré // comme li» fonction et x comme la variable indépendante. Mais il va de soi que, dans une équation diiierentielle,

on peut considérer x comme la fonction et y comme la variable indépendante.

Par exemple, l'équation

OÙ on regarde ;/ comme la fonction inconnue, ne rentre dans aucun des types que nous avons indiqués. Mais, si on y regarde .v comme la fonction et y comme la variable, on peut l'écrire, en

d.imultipliant par --7—'

et l'on a une équation linéaire, car elle est linéaire par rapport il la fonction inconnue et h sa dérivée.

Pour l'intégrer, on suivra la méthode générale indiquée, on fera

Il étant une fonction auxiliaire de i/, et s, inconnue. L'équation devient

(hj " dy " ■

Déterminons u de facou ii annuler le coefficient de

ûgG COURS D'AAÂLYSE

OU bien

rn intégrant, il suffit de prendre, sans ajouter de constante, L'équation devient alors

dz = — ife'Jdy,

En intégrant par parties, on a :

jife''dy=^j<fde'J = fë'~2Jïfe'Jdy.

Jifehhj == ^ifdc" = ife" ~ ijye^dy,

jy <i'dy ^jyde"=ye'' —fe"di/, fe'-'dy^e''.

On u donc, en remontant de proche en proche,

I y'ehly = e"{y'' — 3y'' + 6?/ — 6) .

Comme on a posé x = us, on a enfin, pour l'intégrale générale de l'équation diitcrenticlle donnée,

371- Septième type. Equation de Clairaut généralisée. — Soit une équation de la forme :

(12) l/^xf{'j')+f{!/'l^

qui se réduit à l'équation de Clairant quand »(!/') = ;/'. Prenons

encore les dérivées des deux membres piir rapport à ^ : il vient :

REMARQUES SUR l.E CilAXGEMENTDE VARIABLES «".g;

Si, dans cette équation, on regarde :r comme la fonction inconnue et y' comme la variable, c'est une équation linéaire.

Il suiGt d'intégrer cette nouvelle équation, puis de remplacer ;/ par la valeur ainsi trouvée, en fonction de x, dans l'équation (12), pour avoir l'intégrale générale de cette équation.

372, Changement de variables en général. — ILtant donnée une équation difféieutlelle

OU peut essayer de la simplifier, eu prenant de nouvelles variables /; et (', liées a x et y, par des relations de la lurnie ;

Le long d'une courbe intégrale, .r et y peuvent être regardés comme fonctions d'un même paramètre ( ; les formules (14), résolues par rapport ii u et c,

(15) i, = f[Ur,y), <. = 3,(^,y),

montrent que u et i- sont également des fonctions de ce paramètre. On a donc, d'après (14), en faisant varier ce paramètre de tJt,

0(( Ol'

\\s\ portant les valeurs Ae x , i/ , ilv , ijy dans l'équation différentielle, on la transforme en une équation différentielle entre u et c Si l'on sait trouver l'intégrale générale

de cette équation, on en déduit l'intégrale de la proposée, eu y remplaçant « et v par leurs valeurs (15).

KxEMi'i.E. -— Soit, pur exemple, l'équation

( 16) (/t' + f] {.idx -1- ydij) = (,f' -{-</ + x) [xdij — ydx) .

yGoosle

Si on prend des coordonnées pohiires r et 0, lié nées cartésiennes par les formules

cette équation devient :

éqiiution linéaire en r dont l'intégrale générale est L'intégrale générale de l'équation (16) est donc :

yGoosle

CTIAPITIil^ XX

l-QUATJOKS DIl'l'l' lii;NTli; I.I.KS DU DEUXIEME ORDRE

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