I, — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU DEUXIÈME OBIIRE

373. Existence de l'intégrale générale. — Lîiio rqihitiini iliil'ùrciitLelle cin deuxième ordre est de h» ('<nine :

■ ' \ '•" dx (U-^ J

On iippelle intégrale générale de cette équation une lonction ij de .'■ et de deux constantes arbitraires C, et C,,

vt'ritiant identiquement l'équation. On pent se rendre eompte de l'existence de cette intégrale générale par les considérations suivantes, analogues ii celles que nous avons développées, à propos de l'équation du premier ordre (N" 358).

Employons, pour simplifier l'écriture, la notation des dérivées.

L'équation (i) définit -~- ou jj" en l'onction de x, ,'/,,'/■ Soit :

(1'"'] !/"=fv'->!J^!fh

une des valeurs y', tirée de l'équation (:1), Cherchons à l'ornicr, à l'aide de la Cormule de Mae-Lauriu, une série ordonnée, suivant les puissances entières et positives de x, vérifiant l'équation (1). Cette série sera de la ronnc

fsoo COURS D'ANALYSE

Il s'agit de calculer les coelïicieiUs yo, yii .'/(i! ■■■ ciwi sont les valeurs de la fonction y et de ses dérivées successives pour .t^^O. Nous allons voir que tous ces coelTicients s'expriment, e» fonction des deux premiers, tjui restent arbitraires. En efl'et, dans l'équation différentielle donnée (f"';, faisons .v = 0, //,//', //" prennent des valeurs y^,, yi, yi' et on a :

Pour avoir ij'J' diiTérentions l'équation (1'"') par rappoi't ii x, en jioiis rappcliuil que y et //' sont l'onctlons de ,; ; il vienl :

V.w faisant dans cette relation ,r = 0, on a ij'â' en fonction de Va et i/ti, car y'„' est connu, en fonction de ces deux quantités. Dérivant de nouveau la relation (3) par rapport il x et faisant ensuite ;r = i), on a if^ en fonction des y^ et 7/J ... Et ainsi de suite.

On voit donc que tous les coefficients de la série (2) sont des fonctions connues des deux premiers?/^ et i/J, Si cette série est convergente, elle converge dans un intervalle, symétrique par rapport à 0, et, dans cet intervalle, elle définit une fonclion de .r, '/„, i/J,

vérifiant l'équation, et contenant les deux constantes arbitraires ^„ et ?/i. II peut se faire que cette série diverge, cela arriverait, par exemple, si le calcul donnait pour une des quantités yj',yi", ... une valeur infinie. Nous n'examinerons pas les difficultés qui se présentent alors, et nous nous contenterons des considérations ci-dessus, pour établir l'existence de l'intégrale générale.

Ces considérations m.ontrent que, en général, une solution y de l'équation (4) est déterminée, quand on connaît les valeurs que prennent cette fonction y et sa dérivée y' pour .r = 0. En regardant X fil y comme les coordonnées d'un point, on peut dire qu'une courbe intégrale est, en général, déterminée quand on connaît le point oîi elle coupe l'axe des ;/ et le coefficient angulaire y\ de la tangente en ce point.

KQUATIOKS DIFFliREyTIELLES DU DEUXIÈME ORDRE Où!

Au lieu des constantes arbitraires ;j^ et yl, qui figurent diiiis l'intégrale générale, on peut évidemment en faire figurer d'autres C, et Cj, en remplaçant y^ el y'^ par des fonctions de deux constantes arbitraires C, et C^ :

ces expressions étant assujetties à la seule condition qne l'on peut choisir C, et C^, de telle façon que y^ et y» puissent prendre des valeurs quelconques données.

L'intégrale générale (4) devient alors une fonction de .c et des deux constantes C., et i'.,.

Rp.MAKQi.n, — (11) pourrait, de mfnie, par l'emploi do la série de Tavlor, former une fonction

qui Ycrilie l'équation et qui soit telle que cette fonction y et sa dérivée y prennents pour x = 4Va, des valeurs arbitraires y^ et i/J. On calculera, par le même procédé que plus haut, les valeurs yj', jl'^" , ... que prennent les dérivées successives pour a: = x^ et on vérifiera, de même, qu'elles s'expriment toutes en fonction de y^ et //J.

Inléiiralcs parlic'diiires ; intégrales siitgii Hères. — Les intégrales particulières sont celles qu'on obtient en particularisant les constantes arbitraires figurant dans l'intégrale générale. 11 peut exister d'autres solutions qu'on appelle singuUèi-es.