Exemples d'intégrations par séries

1" Soit l'équation

Supposons la fonctioii inconnue // développée en série, par la formule de Mac-Lauriii :

yGoosle

Oo2 COURS D'ANALYSE

L'éfination (;">; dorivce, par l'apport à x, un nombre quelconque de fois, donne

if^ •--- >f ■■= — }):

en faisant .t = 0 dansées relations, on voit que les dérivées d'ordre pair sont, pour x = 0, alternativement, égales ii — y„ et -\-ij^, les dérivées d'ordre impair ù ij'„ et — ^i. On 0 donc :

En réunissant les termes en i/,,, on voit que le coefficient de y^

c'est-ii-tlire cos.r ; et, en réunissa

Lit lester

leur coefficient est

e'esl-à-diro sin x. On u donc l'iiitégriile générale de l'équation (5) sous la forme

y =;/„cos.t -+-//; sin.r,

avec deux constantes arbitraires !/„ et i/^. Il est facile de vérifier que cette fouclion y substituée dans l'équation difi'érentielle (5) rend les deux membres identiques, quels que soient y^ et y'^.

On arrivera au même résultat, par la méthode des coefficients indéterminés, en substituant, dans l'équation différentielle, une série de la forme

et écrivant ([ue l'équation est identiquement v

liQUAT/OXfi Dlt''FI-:itFyTIFL/.L'S DU DEUXIÈME ORDRE (io'i

que tous les coeflîcients «,,..., û,„... s'expriment à l'aide des deux premiers et que l'intégrale générale est

(/(, et rtj désignant des constantes rirbitr;tii'cs. 2° Soit Féquation

Actuellement, si on calcule, de proche en proche, toutes les valeurs des dérivées jrj', î/",... correspondant à .f = 0, aucune de ces valeurs n'est infime. On est donc conduit it penser que, dans le voisinage de ,r=:0, l'intégrale générale est développable par la ibrmule de Mac-Laurin, en une série de la Corme.

>j =a^ + a^x + a,x'' -\~ ... -'ra^x" ^ ... .

Substituons ce développement dans l'équation (6), et écrivons que, après la substitution, le coefficient de x" est nul ; il vient

{n + 2)(« + !)«„,, - na„ ~- a„ = 0,

Faisant, successivement, /(^= 1,2,3, ,.., on voit que cette relation donne tous les coefficients d'indices pairs, en l'onction de rt„ :

cl tous les coefficients d'indices impairs, en fonction do û^

=, rcxp,

■ession de

dev:

ienl

lUi

6oi COURS D' A^'A/.ySE

Les deux séries, entre parenthèses, sont convergentes pour toutes les viileurs de ^ : ou a donc l'intégrale générale de l'équation (G), avec deux constantes «„ et a^. On peut remarquer que

la série qui multiplie ff.„ esteT ; en donnant à l'arbitraire fl„ la valeur 1 et à a, la valeur 0, on voit donc que l'équation admel

l'intégrale particulière 'J's', ce qu'il est aisé do vérïiier.

n. — CAS DE KÉDUCTION AU

375. Cas de réduction au premier ordre. — iXous allons indiquer deux cas dans lesquels l'intégration d'une équation différentielle du deuxième ordre se ramène i» l'intégration d'une équation du premier ordre, suivie d'une quadrature. On peut alors terminer l'intégration, toutes les fois que l'équation différentielle dn premier ordre, i» laquelle on est conduit, rentre dans un des types intégrables que nous avons indiqués. Ces doux cas types sont les suivants :

1" L'équation ne contient pas y ; 2" L'équation ne contient pas ,r.

376. Premier type. L'éqaation différentielle ne contient pas //. — Soit une équation différentielle do la l'orme

où manque î/. Dans ce cas, on prend ooninie l'ouction inconnue// et on remarque que

Léqnation s'écrit alors

'hi' \

Elle est da premier ordre en ij . Sitpposûtis qu'on saclie intégrer celte équation et soit

CAS DE REDUCTION AU PHEMIER ORDRE Goîi

son intégrale gcnérale, C désignant une constante arbitraire. D'après la signification de y, on pent éerire

On a, ainsi, l'intégrale gcnérale de l'éqnalion (7), avec denx constantes arbitraires C et C

lixEMPLE. — Soit à intégrer l'équation

Comme <j manque, on prend y' comme inconnue auxiliaire : remplaçant y" par —4~, on a l'équation, du premier ordre en y'

ÈL—(JL

quation homogène. Pour l'intégrer, on fait ;

elle devient

dj ■

, en séparant les viii'i;tljles j: et z

Décomposons la fi'Lietion rationnelle dn di fractions simples ; noas avons

1 d.r Js II',

En intégrant, on a ;

iilog,r-l„ge) = log(=^2)^log(=-l), 1 , » , î — 2

io6 (Orn.s D' A.\ALÏSJ':

; ilésigiiaiit une coiistiiiitc. On tire Je lii :

^^iit ^M,

On a, uinsij l'intégrale {fonérale <ie réqualioii donnée, avec deux constuntes arbitraires c et c'.

Il est facile d'effecluer la qiiadriitnrc qui figure dans l'expression (U) dey : il suffit de poser

on est ainsi ramoné à riutégcation d'une fraction rationnelle en u. La décomposition en fractions simples donue

On a donc