CAS DI-: RÉDUCTION AV PREMIER OIIDRË
(il, en revenant îi hi variable x par bi formule
Remarque. — Dans certains cas, en intégrant l'équation du premier ordre (8), il est plus commode d'exprimer x en fonction de y' et de mettre l'intégrale générale de cette équation sous la
On peut alors expri
!v ij, il l'aille de
i partant de la
qui doniif , en tirant r/,c de (12),
oii i' désigne la dérivée de 1 (/, C) par rapport ii ij . On a donc (13; y=jy'-V{y',C)d,j' + C'.
Les équations (12) et (13) définissent x et )/ en fonction de y': l'élimination de y' donnerait l'intégrale générale de l'équation, avec les deux constantes C cl. C .
3T7. Deuxième type. L'équation ne contient pas x. — Soit une équation diflercnîielle du deuxième ordre de lu forme ;
ne contenant pas x.
ordre entre y et y'.
\ une équation du preni
COTJli^
fl'.l.vjtl-
îiillît de
larqii
^-ient
a que
'/' alors
l'on pciU 1
équatiaii du premier ordre cnlre // el ^'.
Si l'on saii intégrer cette cqiuilioii, on en tir*
tl.r '
On a ainsi l'intégriile générale de l'éijnation donnée (14), iivee deux constantes arbitraires C et C.
Remahque. — Pratiquement, il peut arriver qu'il soit pins coiiiniode de tirer y, en fonction de y', de l'équation (15) ; on ti'ouve alors
Dans ce eus, on exprime luissi x en lonetlon île [i' . Pour oeln, on part de la relation
du
CAS DE RÉDUCrlON AU PREMIER ORÛRE
niplaçant 7/ par son expression (17),
Les mées entre
nlladéri
.le ']- par rapport à y'. On a alors
i deux expressions {17; et (18) donnent .i; et //, exprien fonction de la variable auxiliaire y'. L'élimination de y' . K expressions, donne une relation entre x, y, C oX C' : l'intégrale générale de l'écuiation différentielle.
Exemples. Premier exemple. — On est conduit en mécanique il des équations de ce type, quand on cherche le mouvement rectiligne d'un point sollicité par une force, dont l'intensité dépend seulement de la position et de sa vilesse du point.
rig. ...M,
En effet, considéi'ons un point M de masse j un axe Ox (fig. 205), sous l'action d'une force
est fonction de l'abscisse .r du point et de sa
dj, ^
(,qui se meut sur X, dont la valeur
r-fi-^^y
di-
équiition dilïerentielle du deuxième la variable indépendante t. D'aprî ramène cette équation au premiei inconnue auxiliaire la dérivée
irdre, dans laquelle manque 4 la méthode générale, on ordre, en prenant comme
d'j: de d\> (/x th'
dû (// d.ii dl ~~ d.v '
et l'équation s'écrit
équation d» premier ordre, définissant v en ['onction de x.
On peut remarquer qu'en chassant le dénominateur rf.r, un peut écrire l'équation sous 1;» l'orme
qui est la relation Cournie par le théorème des l'orees vives.
Une fois c trouvé, eu l'onetion de ,t , par l'intégratiou de cette équation.
On a, ainsi, l'équation du mouvement, avec deux constantes arbitraires, qu'on détermine quand on connaît à l'instant initial 1-.=^/^. la position initiale x^^ et la vitesse initiale ('„ du mobile.
Deuxième exemple. Courbe èlaslûjue jdane. — Cherchons une courbe plane dans laquelle la courbure, en chaque point, varie proportionnellement à l'ordonnée de ce point. Cette courbe est la figure d'équilibre d'une lame élastique, dont la fibre moyenne est rectiligne à l'état naturel et que l'on courbe en Taisant agir sur les deux extrémités des forces et des couples.
Le rayon de courbure, en un point de !a courbe, étant R, on doll avoir
J JL
yGoosle
CAS DE REDUCTION AU PREMIER ORDRE 6ii
a désignant une coustanlc. Remplaç;iiit R par son expression, on a l'éijuation du deuxième ordre
laquelle manque la variable indépendante j nplaçons alors y p.,- -^=^ , ,] viei
Vi + y"
On
L lire de 1
à, en
résolvant pai
■ rappo
rth^,
v^-li--'^)'
Remplaçant ij' par —j^ et résolvant par rapport à dx, on a, après intégryLion,
Telle est l'étpiation de la courbe. La valeur de la constante C n'influe pas sur la forme de la courbe, car cette constante vient simplement s'ajouter à x; quand C varie, la courbe se transporte parallèlement à O.r. La constante C influe, au contraire, sur la l'orme de la courbe : si C^ est supérieur à 1, la courbe ne peut pas couper l'axe Ox, car, dans ce cas, pour y=0, y' est imaginaire ; si C^ est inférieur à i, la courbe coupe l'axe Ox et, aux points d'intersection, elle présente des inflexions, car, y étant nul, //"l'est aussi, en vertu de l'équation différentielle.
6ii COURS D'ANALYSE
L'intcgriile figuriiiit dans l'équation (19) ne peut pas ^tio calculée exactement par les méthodes clcmcntaires : on la calculera par les méthodes d'approximation.
III, — ÉaUATIONS DOBDRE QUELCONQUE
378- Intégrale générale. — Soit une équation tliiféreiitielle
d'ordre». On démontre, par une méthode analytique analogue à celle que nous avons suivie pour les deux premiers ordres, que cette équation admet toujours une solution y fonction de x et de II constantes arhitraires :
(21) ;, = çtr,C„C„...,CJ.
Ces constantes doivent pouvoir être déterminées de telle façon que, pour une valeur particulière de la variable x, 0 par exemple, la fonction y et ses [n — V) premières dérivées, par rapport à x. prennent des valeurs arbitrairement choisies.
Cette solution (21) s'appelle Yiniégrale générale de l'iiquation.
En donnant à certaines constantes des valeurs numériques, dans l'expression (21), on obtient des solutions ou intégrales particii- Uères.
L'équation différentielle peut admettre quelquefois d'autres solutions que l'intégrale générale et les intégrales particulières : ces solutions, quand elles existent, s'appellent, comme pour le premier ordre, intégrales singulières.
379. Type d'équation réductible au premier ordre. — Une équation d'ordre /* est réductible au premier ordre, quand elle ne contient ni la fonction inconnue, ni ses dérivées d'ordre 1, 2, ..,, (« — 2), En effet, l'équation est alors de la forme ;
liQU.lTIO.\S B'ORDRE QUE LCONQL' /: f>
on la ramène à la lorme
équation du premier ordre. CeUc équation étant intégrée, a poi intégrale générale
l'our avoir i/, on est ensuite ramené ii trouvez' mie l'onetion // telle que
e qui se fera en intégrant, successivemeat (n — 1) lois par rapport X et ajoutant, chaque fois, une constante arbitraire.
KxEMi'LE. — Soit à intégrer l'équation : (22) ,4i 3ii y. = 0.
l'équation devient
équation linéaire en i-. Pour l'intégrer, l'aisor
et déterminons n de façon l\ faire disparaître les termes en z, il
i^ COURS D'AXALFSE
Lii première de ces 6c[uatîons est satisfaite pai
La deuxième donne aloi
Pour détei'inlnei' y en. lonctîoii de x, revenons u l'équation
Multiplions par dx et intég
Multiplions par dx et intégrons :
Enfin, multiplions par dx et intégrons, nous avons l'î générale de l'étjuation (22) :
avec quatre constantes arbitraii'es C, C,, Cj, C..
