IV. - ÉQUATIONS LINÉAIRES AVEC DEUXIÈME MEMBRE, EXEMPLES

390- Théorème, — Soi/, une L-ijiialion 'U(J'èi'eiiliflle liniaire avei deuxième membre

on, soi'f forme uhrègée,

si l'on connaît une intégrale particulière de cette èqiictlion, on. peu ramener son intégration à l' intégration de la même équation suri, second membre.

En effet, supposons qu'on connaisse une fonction particulière i vérifiant l'équation, c'csl-ii-dire telle que

prenons uoo nouvelle [ouetioii iueoiiuue Y liée li // par la relatloi

KQUATIOMS f.I.VÉMllHS AVEC DF.U XI k M !■: M E M H II !■: fi33

L'équiltîoii (15) devient

.j(Y + »)=Xi or

on a donc l'équation :

= (Y)+,(„} = X, et comme par hypothèse s ((() = X, il reste

(17) =IY)=0.

La l'onction Y salisl'ait donc ii hi même éiiuation saiix second membre. Sî l'on sait intégrer cette équation (17), on troiivoia, pour son intégrale générale, une expression tle la foi'me

lui revenant à la l'oiietion (/ par la formule )/-■=-. Y + w, ou a alors, pour l'intégi-alc générale de réquatlon donnée (15)

,/ = C,Y.H-CJ,+ ... + {:,.Y„+/,,

avec n constantes arbitraires (',,, C^, ..,., C„.

l'^XEMi'LE. — Soit l'équation

(18) S^+»=«on vérifie immédiatement que la fonction

est une solution de léquation. Faisant alors

on obtient, pour déterminer Y, l'équation sans deuxième membre

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dont rintégrale générale est

Y =^ C^ cos :c -\- Cj sin x.

I/iiitogfale généiiile Je l'équatioTi proposée (18) est donc y = r.,cosj+C,5i„,r + i6.'.