ÉQUATIONS I.FNÉAIRRS AVEC DEUXIÈME MEMBRE 6B

Exemple I- — Soit î'équiitioii :

Le deuxième membre étant un polynôme de degré 2, essayons de vérifier l'équation par un polynôme

Ecrivant que l'on a idenliqnemfinl :

ce qui exige

On a donc la solution [larllcnlicrc

Faisant alors on est ramené à l'cquaLion, sans deuxième membre,

qui a pour intégrale générale

Donc la proposée a pour intégi-ale générale

Exemple II. — Soit l'équation

(/> d;/ , d.>-' ^ rf.r —-^ ■

yGoosle

63C COUn.S D'.iyALYSE

On voit qu'en subsLilu:int, clans le preiiiioi' niemlire, un polynôme du quîitiicme degré, le résultat serait du troisième degré seulement : substituons ylors un polynôme du cinquième degré

on activant «{iw ce polynôme vérifie identicjuement hi rehitloii

r.";,, = l, i.,=0, l>0/.. + :(;, = 0, 2'iÀ, + 2i, = 0, 6;,, + ).,.0, .l'où

l.e coefficient ).^ peut Être pris iirljitritircmciit ; comme, ponr le moment, if s'agit seulement île trouver une noluliim de l'équation, nous prendrons

Nous «vous ainsi la solntioi]

;,ï + „, n a, pour détermiiLer Y, réi[natiou sans den: <l"Y ,(Y

l'aisant Y ^»", mi ai r

KQVATIOSS LiyÉMRKS AVEC 1) E IM k:\l F, MEMIIHK 6J7

On en conclut los trois solutions

el l'intégi'ale gi^uûriili.'

Y-C. + C/' + C,^-", ou

Y=C.+Afos,c + Bsin,r.

L'éqiirttion donnée eu y il tlono pour intégi'iile génévalc

y -^ C, + A oosx + 13 sin.r + 4-.r^ — ^:r' + 24.,-.

Remauquk. — On ponrriiit aussi, (Inus réquiiLion rjne nous venons de triiiter,

d.r'^ ci,- '"• ' prendre pour iuconnno

on aumlL aloi» il Inli'.gier rij<iuailc)ii du Jeiixii-mc oïdic

Une fois r trouvé, on en oonclnt y piir une qnadratui'C

393- Deuxième cas. — Le second membre est uue exponentielle Ae"'^, où A et (ï sont des constantes. Dans ce cas, l'équation est de la l'orme

(19) '^[y)^kif\

F.n généi'al, on pourra obtenir une solution de la forme

X étant une coiislante à déterminer.

63S cousis D'AXALYSE

En efTet, écrivant que ii vérifie l'cquiitioii, on a :

Miiis, nous iivons posé, quel que soit /-,

on i» doue, eu reuiplaçLint /■ par a,

et li» condition (20) douue

On il donc ainsi lii soUition

Cas d'exception. — Le calcul précédent serait eu, dél'aut, si a était une racine du polynôme '!'('■), car, dans ce cas, œp.e"'') serait nul, quel que soit ).. Voici comment on obtient alors une solution :

Si a est racine simple de 0{/'', l'cqualion adnicl une solution de la forme 'i-xe"'' ;

Si a est racine double de ■!(?■), l'équation, avec deuxième membre admet une solution de la forme î.x^ e" ;

Et si a est racine d'ordre p, l'équation avec deuxième membre admet une solution de la forme '/^''e"' .

C'est ce qu'on voit immédiatement en se serv;int des identités établies plus haut {N'° 388)

yGoosle