ÉQUATIONS LINÉAIRES AVEC DEUXIÈME MEMBRE

Supposons cjiifï a soit racine simple de ^{r); alors i[/(fl) = 0, •V (rt) étant diileront de zéro. On a donc, eji essayant de vérifier l'équation par

^{-)a-e'"') = Ke-%

ou

î,-s(.re"^)=Ae"^.

Mais, d'après

la deuxième des identités

■s{xe"') = e"^V{a),

Ou a donc

■).e"4.' [a] = Ae"'^,

on obtient alns

i la solution

Si a est racine double de ■'j[i-) on a, essayant la solution

3 (Xr^e"-") =: Ae"', d'où, d'après la troisième des Identités (21),

un obtient ainsi la solution Et ainsi de suite.

COUIIS D'AA'ALrSJ!

En général, si a est racine d'ordre p de ')'('■}, réquation sans deuxième membre admet les /) intégrales e", .xe'", ...,x^"^ e"^, et l'équatîon, avec le deuxième membre Ae™, admet l'intégrale

il. — Soil réqnation

ses racines sont 1 et 2, La A< ncntielle e'-^ ; comme 3 n'est pi admet une solution de l;i forme :

; membre contient l'expo- [is racine de i|<(/'), l'équation

en substituant, on trouve, iiitrès réduction,

On a donc la solution

on est l'amen

ijoiiîion s

ans deuxième

memb

dont l'intcgr.

le

néra

e es

1, 'intégrale

raie

delà

proposée est

donc

/.QL-.i'/IO.y.S I.!M-:A1I,ES avec deuxième MEMIIItE Kxi'.MPLi.: 11. — Soit l"-.iiiL.tI,,ii :

où le pi-cmier niemlirc <;st lo mi^mc i£iio diiiis l'esemple 1. Le cleiixicmc membre est (■■'' et le eiiefl'icieitt 1 de ,r est racine siinple (lo ■!/(/■)■ ï-'t'qiiittioii juhnel: doKc une soliilioii de lu forme

■;i ,liicvh;m.Mit ; \:i. valeur d,; >, est

394- Cas général où le deuxième membre est un polynôme P(,(/, suivi d'une somme d'exponentielles. — Soit miiiLilciiant

; 2:! 9 //: ■- I' .'■■ -+- A<-°' + \ic''' -f- ... + W'.

dacrmine d';ih.>rd d<'s roncli.uis //,, ,/^ . «^, ..,, // , véritiinit les

0(1 siiit trouv.M- oes loiiflioiis. d\n>,i^ 1<'S deux oys préeédeiils ; ((, est uu poiyuùiiie, iij.ii^..... ri^, des eNjiiiiicutielles multipliées ou non par des puissances de .i' suivaitl ijue n, h, ..., ! sont ou non des racines de i (>';.

L'ue fois "j, "a .-■! ",. trouvées, Féquiilion [iioposée 1^1?) iidiuet la solution

-li COURS D'Ai\'ALYSE

On a, en effet (X" 381;,

e [a] = P (,■(■) + Ap"' + «<'''■' + . . ,

, + Le'\

Ayant trouve ii, on pose

et on est ramené à réquatioii sans deuxième

meiiibi'i

K\i;m]>i.tî, — Soit l'équation

(24) -&+i,-2.,+co.,,.

Comme cos :r = ^ e''+ -^ e^", on peut c

-ir

ce qui rentre bien dans le type précédent. On cherche alors des fonctions particulières ;(|. »,, »j vérifiant respeetivoment les trois relations.

i?^+".=ir«-"-

On obtient une fonction //,, remplissant la première condition, en essayant nn polynôme du premier degré; on trouve ainsi : Il =2,c.

On obtient une fonction u^ vérifiant la deuxième relation, en remarquant true le deuxième membre

ÉQUATIONS LINÉAIRES AVEC DEl'AIÈME MEMBRE 6^3

csi de la foL-nic Pi.e"\ où a = i est racine simple de |(/-) = 7~ + 1. 1)11 peut donc prendre pour n^ «ne expression de la forme

en substituant, on tro

rol;illon, on peiil, de même, prendic

L'crpuition proposée (24) iidmel alors la solution Faisant, alors.

, II. lit riufiîgialo gônôrale esl

Y = C,co«.r+C,s;ii.r- L'intégrale générale ilc l'équation proposée est donc

= C,cos.i+C^sin.r+2.i-