CHAPITRE XXIT

SYSTÈMES D'ÉQUATIOXS DirFÉRlLNTIl; r,LKS SIMUI/l'A-XEliS

A l;^■]■; variaiu.I' indépendante

395- Pi'obJème général. — Il peut iii'river, et celn se pi'ôsoiile notammeiit en méfiiiii([iic , que l'on ait It intégrer im système de n équations différentielles simultanées d'ordres divers, détinissant ii fonctions inconnues d'une même viiriable indépendante. Nous allons montrer que l'intégration d'un pareil système peut toujours se riiniener à l'intégration d'une seule équation différciitielle à une l'onction inconnue.

Xous commencerons d'abord par quelques cas simples.

- Soient di'UN équalioiis île la foriiie :

définissiint les deux lijnctions inconnues // et ; de la \arLiiljl<' indépendante j:.

On peut ramener l'intégration de ce système à l'intégration d'une équation du deuxième ordre. En elFet, dérivons la première équation par rapport à x, en y regardant y et ; comme fonctions de ,r : il vient

liquATioss siMri.TÀ.yiiEs d'j premif.h ordre 64''

Sij entre les Irais équations [ï. et '2; on élimine ; et— ^, on obtient uno cqnation dUrérentlello du deuxième ordre,

délinissanl y en fonction de .v. Soit

l'intégrale générale de cette équation : cette intégrale étant supposée trouvée, on obtient également x- en fonction de x, C, et C^ sans aucune inlégraîion, en faisant seulement des calculs nlgéhriques. En effet, si dans la première des équations (1), on remplace y par son expression, on obtient une relation contenant uniquement .r, z, C.^ et C, : en la résolvant pnr rapport à ;,

avce les denx niruies constantes Cj cL C...

397. Interprétation géométrique. — - Si on regarde .r, y, z comme les coordonnées d'un point M de l'espace, on sait que le lieu des points, pour lesquels y et ^ sont des fonctions déterminées de X, est une courbe dans l'espace; d'autre part, les coefficients directeurs de la tangente ii une courbe gauche au point [:r,i/,z) sont proportionnels h (he,dy,<lx-, ou à ^,~--j~ ' '~j~ ■ ï"*^" grevles équations différentielles (1), c'est donc chercher des courbes gauches telles que la tangente au point, {s,y,z), à une de ces courbes ait ses coellicients directeurs proportionnels à

L'intégration des PC[natioiis (1) donne les équations de ces îourbes soi^s forme finie :

avec deux conslanles arbitraires.

Par un point donné x,,, y^, .-„ de l'espace, il passe une de ces courbes, car on peut toujours déterminer C, et C^ par la condition que les deux équations (3) soient vêrifiécSj quand on y remplace ,r, y, 3 par j-„, </„,.;„.