Exemple.— Soit à intégrer les équations
Dérivons la première par rapport à .c :
A^l + AlL + 2—.
clj;^ lie (.Ix
Entre ces li'ois équations, éliminons r et— ^ ; la prc donne
i ii l
-~ 2 rf.i- 2
portant cette expression de .; dans la deuxième, on a
enfin, en porîanc eette expression de — ^ — dans la troisièm
-:ij, + 2
équation du deuxième ordre en ij. Cette équation s'écrit
liQVATlOyS SlMULTAIiÉES DL PRE:)I1FR ORDRE 6.
C'est une équation linéaire, i\ coeflîcients constants, avec «.Icuxicni nieniijie. Elle admet la solution particulière
par
la substitution
elle
devient
d'-i <lx'
:îï =
liUion ([ul
lui met
les dei
is intf
gia
les p>
iiticulié
et dont l'intégrale générale est
L'intégiale géuéi'ale ele î'équation en i) est tloi
Pour avoir ;, il sulllt de le tiioi* de la preniiéve équatiou qui doune :
1 thi 1 1
'^ T"rf7 ~ 2 ■'' 'i"'
ou, eu remplaçant ij par sou expression et réduisant,
On a ainsi les expressions générales de ^ et ;/, avec deux constantes arbitraires C, et C^.
399. Application. Lignes de force . — Imaginons une loi de force telle que, sur l'unité de masse, placée en un point quelconque M {x, y, :), agisse une force F ify. 206), dépendant uniquement de la position du point M. On a alors ce qu'on appelle un champ de forces : les projections F,., F„, F= de la force F agis-
Siuilcii im point M {.(■,//,:) du chu m j). st.iit <.\'-< ((mêlions supposées coiimies des coordonnées du poiiil :
On iippelle lignex de force les comlies telles que, en chrtcuu de leurs points M, elles iidmettent eomme tangente hi foi'ce agissant en ce point. Clicvclioiis les éqir.itions différentielles de CCS lignes.
Les équiitions de Li taiiç;eiite It ujie eourlie, lui
Ccllo îiingpiilp dc'viiiit se coiiruiulio ;ivcc If HPi/iiictil tie cii. (II. |iv()j|.cli(>n5 F„, F,, I'., 1111 ili.il iivciii
'rfllos sont les éqiiiuioiis tlHIureiuiflies des lignes de l'orce. l'in leiinut .(■ eomme varîaljle indépendante, on peut les éerire
lin •;(■'■•/■■■)
{.A- sonl bien des équations de la loi'nie iT traitées dans le N" 'M)(j. En les intégriint, on obtient 1er. équations des lignes de l'orcc avec deux paramètres C, et (.'.,,.
400. Altiik KxiîMi'i.E, Trajectoires orthogonales d'une famille de surfaces à un paramètre. — Soir
ré((nati()n d'nne l'ainille de siulaees dépendant ci'\in païamètce À: lions siqq^oserons, pour pins de simplicité, cette équation lésolne
liQLATIO
an-LTASEES DU i'RF.MIlUt
jiiu' rapport à A. Qu;uil1 on f;iil varier \ la sin-l'apc 'i cliange lie forme et de position, de telle fiiçou qu'il passe une de ces siirl;ices par un point quelconque de l'espace a\, i/^, j„, choisi dans la portion (le l'espace, où la fonction^' .c, i/,^) existe. Kn eO'et. on peut toujours déterminer ). de fiiçon que l'équation 'i soll vérîliée quand on y fait .r^j-^, t/^i/^, z^.~„.
Nous voulons trouver les conrbes qui coupent ces angle droit, c'est-à-dire les courbes telles que li en chacun de leurs points M(,c,»/,.r^ coïucide avec la celle des surfaces (4 qui passe par ce point.
Les équations de la tangente à une couibc soiil
.ifl'aces à tangente lorinale à
Comme -
sont les équalioiis difl'érciUlolle^ des courh.-s cherchées.
6f <Y Y ^ -^- -,^- ^ sont connus en U>nct,ons de .,,,., ces
équations, où on prend .i cooinie variable indépendante, sont dc la forme (i .
En les intégrant, on obtient les équations des trajectoires orthogonales demandées, avec deux constantes arbitraires (i, et C.,.
On peut remarquer que ces courbes sont les lignes Je force, correspondant !i une loi de force K, dont les projections seraient
t)5o COURS D'A.\ALrSE
On Llît iilors que la l'orcfi V dérU'e d'une fonction de force:)
f[x,i/, :■) ; les surracos
s'nppcUenl les s'trfares de nweiiti.
E\EMp].E. — Trouver les trajectoires orthogonales des paraboloïdos
où "/. est un paramétre variable.
Les eourbcs cherchées ont pour érjuations diflerentl elles ;
Égalant chacuii des deux premiers rapports au dernier, on a les deux équations
xdj:- + zdz = 0, ydy + :dz = 0,
qui s'intègrent immédiatonient et donnent
On a ainsi les équations des courbes cherchées, avec les deux constantes C, et C^. On voit que ces courbes peuvent être regardées comme l'intersection d'un cylindre de révolution, de rayon quelconque, autour de O//
avec un cylindre de révolution autour de 0,i'
ÉQUATIO.XS SlMULTAy ÉES DU PHKMIER ORDRE 6)T
II. — SYSTÈME DE // ÉQUATIONS SIMULTANÉES DU PREMIER OBDRB A H FONCTIONS INCONNUES
