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Telle est l'équation aux dérivées partielles des surfaces consi dérées. Cette équation est linéaire, en ]> el tj.

ÉQUATIONS AI/.Y DKIilVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE 671

Interprétation géométrique. — Ou vérifiera que cette équation exprime, qu'en chaque point M d'une des surfaces considérées,

le plan tangent contient la tangente MA a celle des génératrices (G) qui passe par ce point ; propriété évidente géométriquement, car le plan tangent, en M, contient les tangentes ii toutes les courbes, passant par M et situées sur la surface.

On retrouvera tout ce qui a été dit en particulier pour les cylindres, cônes, surfaces de révolution, en particularisant les fonctions u et i'

{CylindresJ a ^az — ex, t' ^ hz — cij.

'Sur laces de révolution) 11 -^,r^ + ;/', i'-= v. Kn preiiaul

on aurait des couoïdes ayant pour arête 0: et pour plan divC' teur xOy.

n, — INTÉQRATION DSS ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE LINÉAIRES EN p ET q

412. Forme de l'équation ; interpréts.tion géométrique. • — Une équation linéaire en/) et q est de la forme

où ; est une fonction de jt et y,jj et fj désignant les dérivées partielles "Y^ et "Y"- ; les coeflicients /'(.r, j/, .;), » (.r, î/, j) et

i [x, y, z) sont des fonctions données de x, y, .z.

Nous nous proposons d'intégrer cette équation, c'est-ii-dire de trouver toutes les surfaces vérifiant cette condition (1].

Pour cela, nous commencerons par interpréter géométriquement la relation donnée (1), Soit M, un point quelconque de

67î COURS D'ANALYSE

]"espace ayant pour coordonnées .T,y,z; faisons correspondre ;i ce point ifig. 210) iin segment MA, ayynt pour origine le point ]\1 et pour jirojerlions sur ies trois axes

(MA) /(,,,„=), ?>,,,;), ^(i,;,,.).

De cette IJiçon, on fait correspondre à chaque hig. :!ici. point M de l'espace nn segment MA appliqué à ce

point.

Soit S une surface : pour quelle vérifie l'éq/iution différentielle donnée, il faut et il suffit qu'en chacun de ses points M, le segment correspondant MA soit langent à la surface. En effet, la droite indéfinie MA a pour équations :

(ma; J=f^ = a=L»4=V'