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if.ni MA (ie projections f{x,!/, =;, a(.';, y,.-) et i' l il siilîlt i[u\iii ;iit, tout !c long do la combf,
ch
Telles sont les équiitîons différeutielles des coiirbt on voit qu'elles sont Identiques iinx équations différentielles des lignes de l'orce correspondant il lin cliaiiip de forces tel que la force, appliquée ii un point yi[.r,i/,z], soit préciséiiioiit le segment corrcspondiuit MA.
L'intégration de ces équations (0) conduit, comme nous l'avons vu ('M'" 39G et 399), aux cqii: bes C sous la forme
■,(:,, cj.
X constantes arbiti'a i deux constantes, ices G sous la form
. Résolvant ces équal meltra les équaûous
Ces éqiiatious définissent une famille de courl>Oh ii doux paramètres C, et Cj, telle que, par chaque poÎJit de l'espiico, il passe une de ces courbes.
Les courbes génératrices étant trouvées, pour engendrer une surface S répondant à la question, c'est-ii-dire uae surface intégi'ale, 11 suffit d'assujettir les courbes génératrices (lî) ii se déplacer en s'appuyant sur une directrice donnée D. Elles engendrent alors une surface intégrale S ; en elTet, soit M un point quelconque de la surface S ainsi engendrée, MG la courbe génératrice passant par M, le segment MA correspondant aa point M est langent en M ii la surface S, car il est tangent ii îa courbe MG située sur la surface.
En outre, en faisant varier la l'orme et la position de la directrice D, on obtient ainsi toutes les surfaces intégi'alcs S : en effet, étant donnée une surface intégrale S, c'est-ii-d!re une surface telle que le segment MA, correspondant ii cliacun de ses
points, lui soit tangent, il est évident qu'on pourra tracer sur fette surface nue famille de courbes G telles que la tangente, en chaque point M de chacune de ces courbes, soit le segment correspondant MA. Lii surface intégrale considérée S peut doue être considérée comme engendrée par une suite de courbes G. Aiialytiquement, si on assujettit la courbe génératrice
il s'iippuver sur une dircclrice donnée D, cotte condition s'exprime pal' une roliitiou
entre les deux constantes. L'équation de h\ surface intégrale ainsi engendrée s'obtient, en éliminant C, et C, entre les équations de la génératrice (4) et l'équation de condition (5). On obtient ainsi Téquation générale des surfaces intégrales sous la forme
tm F désigne une fonction arbitraire.
RiiMAHQVE. —On voit que la surface intégrale S est déterminée, quand on l'assujettit ii passer par une courbe donnée D : elle est, en. eil'et, engendrée par les génératrices (4) s'appuyant sur D,
Il y a exception quand la courbe donnée , par laquelle doit passer la surface intégrale, est une courbe génératrice G„. Il existe, en cfl'et, une infinité de surfaces intégrales, passant par une courbe génératrice donnée G„; ce sont toutes les surfaces que l'on obtient, en déplaçant la courbe génératrice G d'une manière continue, il partir de la position G„, ce qui peut être réalisé d'une infinité de manières.
