ÉQVATIO!\'S AUX DÉRIYÈES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE

coiisliiiites arbitraires C, et C^ : ces équations se présentent toutes résolues par rapport à C, et Cj.

Les surfaces intégrales sont engendrées par les courbes (9), assujetties à la condition de s'appuyer sur une directrice donnée D. T.eur équation générale est donc

V désignant une fonction arbitraire.

Par exemple, on aura des surfaces intégrales en prenanl

■v^ + !/' + =' — ikf/^a',

II, b, c désignant des constantes, et, d'une manière générale, en établissant une relation quelconque, ii coefficients constants, entre x^-\-y^ et s* — 4%.

Une surface intégrale est déterminée, quand on l'assujettit à passer pur une courbe donnée D. Cherchons, par exemple, celle ([ui passe par l'axe Oy. Elle est engendrée par les courbes (9) assujetties à s'appuyer sur l'axe O^, ayant pour équations

Pour exprimer que la courlic (9) rencontre la courbe (iU),il faut éliminer ,r, y,z entre les quatre équations '9) ot (iO). Ce qui donne immédiatement :

(11) 16/r(:,— Ci = 0.

Il reste alors à chercher la surface engendrée par les courbes (9), quand C, et C^ sont assujettis il cette condition (11), L'équation de cette surface s'obtient, eu éliminant Cj cl C^ entre les équations (9) et (11) ; elle est

i?,k%r^^f) — [z'—khijf ■= 0.

416. TiioisiÈMF, F.xEMi'i.E. — Soit^'(.t, //) une fonction de .r et//, intégrons l'équation :

COURS D'AXALrSE

U'itpyiis la iiiélliode géiiériilc, les équations des généralric ont ici

flj: d)/ d.z

Os liquatioiis s'iiitt'grant immédiatement et donnent

I.'cqnafion donnant rintcgrale générale demandée est doi F[=,ê'(*,î)] = 0, >ii, en résolvant par rapport il z,

Ainsi, toutes les l'ois que deux l'onel.ions de x et// vérifient identiquement la relation

J^J^l à- àg ^^

(>.(-■ <iij <i>j àx '

l'une d'elles est une fonctiuii de l'autre