III. — ÉQUATIONS AUX DÉaiVÉES PARTIELLES DU DEUXIÈME ORDRE

417- Forme générale. — Une équation aux dérivées parliellet du deuxième ordre, ii deux variables indépendantes x et y, est d(

fSQU.iTlOXS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DD DEUXIEME ORDRE 'à-fj

OÙ yj, q, ;■, s, t sont les dérivées partielles premières et deuxièmes de z par rapport Ji :v et tf.

Intégrer cette équation, e'ost trouver les foncùons ' de ,f et // vérifiant cette équation. La fonction z, la plus générale, satisl'aîsant à l'équation dépend de deiu: fonctions arbitraires, de telle façon qu'une surface S, vériliaDt l'équation, est déterminée, quand on se donne une courbe par laquelle elle doit passer et la loi des plans tangents ii S le long de cetle courbe.

Nous traiterons un seul exemple, en cberchaul les surfaces pour lesquelles la courbure totale est nulle eu chaque point. Pour ces surfaces, le z d'un point, considéré comme fonction de .v et y, vérifie l'équation

C'est cette équation que nous allons Intégrer : nons allons montrer que les surfaces intégrales sont les surfaces dévcloppables. En effet, en introduisant les dérivées premières

on peut écrire l'équation (Kî)

Hx dl/ l)?/ i),r

Or, nous avons vu (n" 410) que, quand doux fonctions " H^ vérifient la relation

l'une est une fonction do l'autre. Donc, actuolleoient, p est une fonction de rj :

Cela posé, l'équation du plan tangent en un point de la surz— ==,j(X—r) + ,(Y — j), j,X + ,Y - Z + = -,,.,' - ,,,, = 0.

Mo coriis nANAi.rsF.

Duiis cctie équation, on a

.■si iiitssi une l'ontlion clo (/. lui nft'ist, proiiods la tlilTércntloUe totiile do » correspondant à nn dépliicemcnt ([Hultonqur; d.i, dij oilVctué sur l;i surl'acu :

du ^^ dz — pd.r- — t/di/ — .rdp — ■ //'/'/,

(h =pd.v-\-ijd;/, P = ?''/'.^ dp=^i{'jldq.

Cette l'clutuiii moiiti'c que h est totietioii (l<! <i seul, eiii- i|(i;unl y ne varie pas (/y^O, dn^ I) et ii leste consliiiil ; el si '/ viirie, H nirio. Doue

lu surl'aee est alois l'enveloppe de ce plan, dont réqiiallon ne dépend que d'un païuniètie <( : e'esî une suil'aee développable

CHÂPITRp; XXIV

VALEUR >'ljMÉRlQUr: D'UXK INTÉGRALE DÉLINU-

MÉTHODES UAPPROXIMATION