I./élimiiiatmii <.le h enYre ces deux t'cl;ilioiis don

dn^lds-

condition de regarder ds

Cette formule est générale, positif ou négatif, suivant que la lette tourne dans un sens ou dans l'autre. Par exemple, la position des tiges infiniment voisines AB et A'B' peut être celle de la figure 219 où da. est négatif: dn est alors la dififérence des f.-

aires AEA' — BEB' : son expression se

compose du parallélogramme AA'B"B ou M, moins le secteur 1 >

c'est-à-dire Ih -\- -^r l^ ■

■ d'y. est négatif; d'autre

part, on a encore ds^^h-^Xd%\ on retrouve donc la formule (1). Pour avoir l'aire totale A, B„ B, A, (fig. 218), balayée par la tige, il faut faire la somme algébrique des éléments du, c'est-ii-dire intégrer le deuxième membre de la formule (l), depuis la position A„B„ jusqu'à A^B,. On a donc, en appelant s l'arc total de la roulette qui s'est appuyé sur le papier, a, et a^, les angles des directions A.B. et A.B, avec 0.i' :

AireA„BÏ

^.+^-^/^-ajK

La quantité s se lit sur le compteur qui enregistre le nombre de tours de la roulette : aj-— a, est l'angle des deux positiiius extrêmes de la tige.

On voit qu'on ferait disparaître cet angle en prenant}.^ -^, mais cela est inutile, car le terme dépendant de l'angle disparait de lui-même quand ou mesure l'aire d'un contour fermé, ainsi qu'on le verra plus loiu-

425. Cas où la roulette est sur le prolongement de la. tige. — Nous avons supposé, dans ce qui précède, la roulette placée entre A et B. Les formules seraient les mêmes, sila roulette était lixée sur le prolongement de la lige. Si la roidette est sur le

Gyo COURS b'A.VALrSE

pi-olongomeiit de lu tige dans le sens AB, X est SLipéricur ii l. Si elle est sur le prolongement de la tige dans le sens BA, il suflit de supposer ). négatif. Avec r,es conventions, la formnie (2) s'applîqne à tous les cas.

426. Aire d'un contour fermé. — Soit une courbe fermée (quelconque C dont il s'agit d'évalnrr l'aire S (fig. 220). Traçons

une courbe auxiliaire HII' ne traversant pas l'aire et plaçons la tige AB de telle façon que l'extrémité A glisse le long de IIII', tandis que l'extrémité B décrit la courbe C dans le sens de lu Oèche d'un mouvement continu. Soient A^ et A, les positions extrêmes du point A sur la courbe IIH' dans ce mouvement, A^ B„ et A|B| les positions correspondantes de ia tige. Quand B va de B„ il B| par l'arc supérieur B^BB,, \a somme algébrique des aires élémentaires du, balayées par la tige, est A^B^BBiA,; quand le point B revient de B, en B„ par l'arc Inférieur B,B'B„, le point A revient de A, en A„ et la somme algébrique des aîres dit balayées par la tige est l'aire A|B|B'B„A|| changée de signe. Donc, quand le tour est complet, îa somme algébrique 1 (/" est égale à l'aire S

de 1

irbe C.

TKI lis ET IA7 EGIIAPIJES

lion qu'au départ après une suite, d'oscillations entre deux directions limites, la somme | i/œ des variations angulaires est nulle et on a

Soit/( le nombre de Uhh's i?l do fractions de tour effectués par la roulette, /■ son ravon, ou a

S = 2-rln.

t Tappiireil de i'açon r[Ui