IV, — CHANGEMENT DE VARIABLE DANS UNE INTÉGRALE DÉFINIE SIMPLE

36. Changement de variable. — Soit une intégrale définie ;!) jyi,r) ,1..:

Supposons qu'on exprime .j' en fonction continue d'une variable / :, = .} [,) de telle façon que t variant de a à ^, .t varie de a à /i, sans passer

FONCTIO^'S PRIMITIVES. lyTÉGBALE DÉFINIE SIMPLE 'hj

par l'infini ni par aucune vyleur ponr laquelle /'(.r) cesse d'exister. Mous allons démontrer que l'intégrale proposée est égale ii la suivante :

2) j''ni(fi]i' {')•".

obtenue en remplaçant, sous le signe d'intégration, x par rji [t), d.r par la différentielle •^' (t]dc de ^ (t], et en mettant les nouvelles limites a et ^.

Pour démontrer cette règle, nous ferons d'abord deux hypothèses restrictives que nous ferons disparaître ensuite. Supposons : 1" que t variant de a à ^, la dérivée ^' (/) ait un signe vonstanl de telle façon que

varie toujours dans le même sens de a à h; 2" que

conserve également un signe constant quand i viir Intercalons, entre a et |î, [n — i) valeurs de ;

rangées par ordre de grandeur de a à ^ ; ii ces valeurs mule X =^ 'Il iV), fait correspondre n- — 1 valeurs de ,r,

rangées, de même, par ordre de grandeur de a à h.

La première intégrale (1) est, par définition, la limite de lu somme d'infiniment petits tous de même signe

la deuxième intégrale (2) est, de même, la limite de la somme :

D'après le deuxième théorème fondamental {n" 4), pour

démontrer que ces deux sommes ont la mémo limile, 11 sul'lil de montrer que le rapport d'un terme de la première somme au terme correspondant de la deuxième a pour limite l'unité. Or, nn terme de la première somme est de la l'orme

ir /■(.,)

el le terme correspondant de la deuxième

A, c étant raccroissemcnt de .r correspondimt ii l'aeeroisse nient A/ de t. Le rapport de ces deux termes peut s'écrii'e

comm.: .(■ ^ ^ Wi ce rapport tend évidemment vers 1, quand A/

tend vers zéro, puisque — r — tend vers la dérivée ^' '^)-

La règle est donc démontrée.

Nous avons fait deux hypothèses restrictives. Pour les l'aire disparaître, supposons d'abord que, f^\ (/)] restant de même signe quand ( varie de a à 3, ^'{f) n'ait pas un signe constant, ou, ce qui revient au même, supposons que .r^^'|i(/) ne varie pas toujours dans le même sens.

Admettons, par exemple, que, t croissant de a ii Yi ■'" croisse de « à f, puis que, t continuant à croître de y ii p, x, décroisse de c à h. La formule s'applique alors séparément à chacun de CCS inLei'valles t on a

fflf)dx=.('f['i{t)\'S/(t)dt;

en ajoutant, et appliquant le théorème sur le fractionnement de l'intervalle d'intégration, on a

j''/(,r),?.«=jV[+ 01 '/(')*■