FONCTIONS PRIMITIVES. INTÉGRALE DÉFINIE SIMPLE

On lèvera, de même, la deuxième restriction en diAÎsunt l'intevvalle (a, ^) en intervalles clans lesquels f[ i [/) ] conserve un signe constant . 1'

37- Api'MCAïroxs. 1^ Aire d'une demi- ellipse. — L'équation de l'ellipse étant

ï'avc snpri'icur y\BA' est repi'ésenti^ par l'cquatian (fy-. IGJ. I,

obtenue en résolvant par l'apport à // et prenant la racine positive.

L'aire de la demi-ellipse est alors

.1- variant de — a (point A') à + iî (point A). On a donc, en I sant sortir le facteur eonstant - du signe d'intégration,

Faisons le eliangcmcnL de variable

variant de 7; à 0, ,r varie de — o. à + a. Alors

Va^ — .T^ == a sin I, d.v = — a sin ( dl

yGoosle

COURS D' ANALYSE

i se rappelant qu'on peut intervertir les limites d'intégration ii <nditioii de changer le signe de l'intégrale.

.n i>eul écrire Une des valeurs de l'intégrale indéfinie est

et l'intégrale définie est la dilïerence des valeurs de l'intégrale indéfinie pour (=7^ et I^^O, c'est-à-dirê ^. Donc

2" Aire de la cyoloïde. — La cyeloïde est la courbe engendrée par un point d'une circonférence qui roule, si

droite fixe. Soit une circonférence de rayon a roulant sans glisser sur un axe fixe 0 .v et soit M le point de la circonférence qui décrit la courbe ; la circonférence roulant sur la droite, prenons comme origine le point O où le point M a touché l'axe dans le roulement. Joignons le centre C du cercle au point de contact I et au point M et appelons it l'angle ICM dont le cercle a tourné

FOXCTIOXS PRIMITIVES. INTÉGRALE DÉFINIE SIMPLE 6:i

depuis l'instant où M était en 0. A cause du loalement, la longueur 01 est é^ale ii l'arc IM c'est-à-dliT ii n u. L'abscisse do M est 01 — 11' :

rordoimée est Cl — CQ :

y = «.,i-cos»;.

Pour avoir la cycloïde complète, d'un point de rebrouasementO à l'autre O'', il faut l'aire varier x de 0 à 2 t: a, ou u de 0 à 2 t:. Dojic l'aire totale est

Cliangeous de variable en indroduisant la variable u : on a d.r = (I (.1 — cos ") du et les nouvelles limites sont 0 et 2 7: :

A = a^j(\ — cos ii)^ du.

Développant le carré et remplaçant cos '^ u par - -:^ , on a

L'intégrale indéfinie esl.

la différence des valeurs qu'elle prend pour u =t^-'Iv- et /' ^ 0 est 37:, Donc

l'aire de la cycloïde est donc égale à trois l'ois l'aire du cen générateur.