Aire d'une courbe fermée. — Supposons d'abord que
COURS D'ANAI.ySE
eowvhf, no soit icdeonlrôc qu'eii deux points M, el Mj piii' uni.' pnrallMe à Oy et iippelons )/, et ij^ les ordonnées de fes points ; menons II 1li courbe les tangentes parallèles à Ojf, M„P„etM'P'.
d'abscisses a et /'. Le long de l'arc supérieur M^ M, M', ;/, est une lonction de ,r et l'aiie du segment P„ M„ Mj AI' P' est
ie long de l'arc inférieur, y^ est ment P,M„M,M'P' est
(le ,,■ et l';.;rr du e
L'aire A de la einirbe esl la difCéi'enee entre ees deux segnicnls
F,n remarquant que on peut écrire encore
Cette expression s'interprète d'une manière simple ; ou dit qu'elle est égale à l'intégrale
roKCTio.ys ptiimitives. !,\tkgii.ile DÉnyiE simple g;
prise sur le contour de l'aire C cliiiis le sens^de la flèche. Eu elFet, imnginons un point mobile parcourant le contour dans le sens indiqué et multiplions son ordonnée par la projection dx- de son déplacement infiniment petit ; quand ce point décrit l'arc supérieur Mq Mi M', la somme des produits ainsi obtenus est
et, c|iiniKl il revient Je H' eJi 51, sur l'aie inl'crionr M' 51, 51„ elle est
la somme totale est donc bien A.
Pour faire le calcul effectif, supposons qu'on ait exprimé les coordonnées ,r et y d'un point quelconque M de la courbe en fonction d'une variable auxiliaire t, de telle façon que, / variant de a à fS, le point M décrive la conrbe une fois et une seule fois dans le sens de la (lèche ; soient
ces expressions. L'alro de la cinirhe est iilors, en faisant le changement de variable cxpi'iiué p;ir cos rchilions ;
Quand une intégrale | yd.r est ainsi prise le long d'une courbe C, on convient de la désigner par la notation
Si la courbe fermée a une forme plus compliquée, sans point double, comme celle de la figure 19, on vérifie facilement, de la même façon, que l'aire de la courbe est égale a l'intégrale
prise sur la courbe dans le sens de la (lèche. En effet, iniagi-
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nons un mobile M partant de A, parcourant la courbe dans le sens de la flèche et multiplions à chaque instant l'ordonnée y du mobile par la projection <f,r de son déplacement infiniment
B, Gj lî =
petit : quand le mobile parcourt l'aw A, M, A^, la somme (ydr, ainsi formée, est l'aire du segment B,A, M, A^Bj, prise positivement; quand le mobile revient de A^ en A,, la partie correspondante \yd.x est l'aire B^A^M^A^Bj prise négativement; quand il décrit A^A^, la somme obtenue est l'aire B^A, MjAjB; prise positivement ; enfin, quand il revient de A^ en A,, la i obtenue est l'aire EjA^M^ A, B, prise négativement. La ; totale est donc bien l'aire de la courbe.
Si le mobile tournait on sons contraire, la somme
serait l'aire de la courbe changée de signe.
Examinons, enfin, le cas où la courbe iiuraît un point double. Dans la disposition de la première figure (20, I), l'intégrale
.le,.'"'-.
prise le long de la courbe, dans le sens de circulation indiqué par les flèches, est égale à la différence des aires des deux boucles. En effet, cette somme se compose de l'intégrale j ydœ, prise le long du contour A, M, PM', A, de la première boucle, et de l'intégrale Çydx, prise le long du contour PM^A.M.P de la
yGoosle
/■■O.VCr/OjVS PliJMITIVES. INTÉGRALE DÈI'INIE SIMPLE 6;
(lollxi^mc, tt ces deux intégrales sont : l'une, l'itire de la première
boucle, cl, l'aulrc, ryirc de lu deuxième prise négativement. Dans la disposition de la deuxième ftgiire (20, II), l'intégrale
est la somiiie dcH deux boucles. On étudierait de i oii la courbe prcsenlerail, plusieurs points diiublcs.
