KxEMPi,];. Aire d'une ellipse. — Soit l'ellipse

ayant pour centre un point quelconque {x„,y^ et ses axes a et li parallèles aux axes coordonnées [fi^. 2i).

On peut exprimer les coordonnées d'un point M de l'ellipse en posant

x = x,-^ a cos t, ,j = ,j,J^ I, sin /.

68 COURS D'AriALYSK

Pour faire décrire au point l'ellipse cliins le sens de la llècho, il sutTit de faire décroître ïde t: à — ti. Comme

(U=— a sin tilt, l'intégrale i i/'l.v prise sur le contour, dans le sens indique, est

Permutons les limites en changeant le signe et remplaçons

. , t — cos'll ,, ,, .

sm l par ;r . .Nous avons, pour 1 aire.

. 21 lit.

La première de ces intégrales est nulle, car l'intégrale indéfinie — cos t prend la même valeur aux deux limites ; il en est de même de la troisième intégrale ; quant ii la deuxième, elle est égale à la différence des valeurs que prend l'intégrale indélinio / aux limites tc et — n, c'est-à-dire à 2 tt.

On trouve ainsi, pour l'aire, r^ab.

DIFFËBENTTELLi: DE L'AIRE D'UN SBCTBUR

40- Coordonnées polaires. — Soit une courbe rapportée à un système de coordonnées polaires, /■ désignant le rayon vecteur O^î

d'un point, 9 l'angle polaire. Considérons le secteur 0M„ M, limité

par un rayon vecteur fixe OM^, correspondant ii l'angle ^,„ et un rayon vecteur variable OM, correspondant à l'angle 0. Nous nous

F0.\CT10?IS PRIMITIVES. ÂIHE D'UN SECTEVR 69

proposons d'évaluer l'aire A de ce secteur qui est évidcmmciiL uae fonction de 6 ifig. 22),

Prenons un point M' voisin de M : les coordonnées du point M étant ;■ et 0, celles de M' sont r -f- A ;■ et 9 -|- i 6. Soit A A l'accroissement MOM' de l'aire du secteur. Si, de 0 comme centre avec OM comme rayon, on décrit un arc de cercle MH, le secteur OMH est plus petit que A A ; de même si, de 0 comme centre avec OM' comme rayon, on décrit nn arc de cercle M'K, le secteur OM'K est plus grand que A A. On a donc, en remarquant que les aires des deux secteurs circulaires OMH et OM'K sont

~ r^\^ et-T,- ('■+ Ar/AQ,

^-'■'AO < AA <~ir + ir.UO.

Divisant par AQ, on a

1 , AA 1 , , ,

Quand AD tend vers zéro, il eu est de même de AA ot \r. Le rapport—^, étant compris entre — /'"^ et une quantité qui tend

vers r- /•', tend lui-même vers celte limite, et l'on a

En intégrant, et remarquant que A est nul pour 0 = 0„,

Kx''

Cette dernière i'ormule est aisée a retenir ; elle signifie (jue l'aire A est la somme des secteurs circulaires iniiniment petits inscrits, tels que OMH.

-•> COURS D'A,\Ar.ySE

41 . Différentielle de l'&ire d'un secteur en coordonnées cartésiennes, — Appeliint .-(■ et 1/ les coordonnées du point M,

,■= rcosS,

Comme r est fonction de 9 le long de la courbe, c et 1/ peuvent être regardés comme fonctions de 6, On a

'■<■" + ,'/' Comme .i''-f-^*;:^r"\ on voit que

et, par suite,

a=A U,ls - ,,,!,■].

On peut facilement rétrouver cette formule en se servant de l'expression de Taire d'un triaugle en fonction des coordonnées

des sommets. Soit un triangle OM,Mj, dont les sommets M, et Mj ont pour coordonnées {.ï|,yi) et (.r,,i/i)- L'aire OMi M; peut se décomposer comme il suit (fig. 23) .