I.a Icmniscate est la coui'Lc qui a pour équation

Cette courbe a la forme indiquée dans la figure 24. Appe-

lant A l'aij'e du secteur M^ OM compté à partir de l'a laire 0,f, on a

yGoosle

■1 COURS D'Ai\ALySE

On a donc, en intégiiiiit,

ciir lu constante ù ajonter est ici Jiiillc, i'iiire devant s'yiinuler iivec H. QuLind M vient en O, 9 tend vers ^ et l'uire du cjuaiL de la courbe totale M„MO est

2" Secteur d'hyperbole équilatëre. Sinus et cosinus hypeiboliques. ■ — Considérons d'abord un cercle (fs;, 25, Ij

<lc rayon 1, cl appelons A l'airo ilu sectcnr 051. M comptée depuis l'axe b.<-. On »

On peut exprimer les coordonnées d'un point du ceixle en l'onction d'un paramètre t en posant

(II/ ^ cos; (/( = .rif/,

^A =, (,e^ -1- ,/) dt = -^ ill,

yGoosle

FONCTIONS l'RIMIl'IVES. MUE D'fX SECTEUH

car .}•- -\->f^'\.. Donc, en intégritiit

sans ajoutt^r de constante, car A s'iunuile avec I. On a donc enfin : '

Prenons de même une hyperbole cquilatcre dont le demi-axe transverse est 1 [fig. 25, II)

et appelons A l'aire du secteur ^1^0 ^1 comptée à partir de l'axe transversc. On a

,^A = -j- [sdy — !jrU).

On peut exprimer les coordonnées d'un point M de la courhe en fonction d'un paramètre en posant

en effet, on vérifie immédiatement que, quel que soit t, .r' — y"= ^ - Quand ( est nulj .t=^= l; y=^0, le point M part de M^ ; quand / augmente jusqu'il l'infini, le point ^I décrit la hranelie infinie M„M. On a

,JX .-■: "' ~ '' dt=IJill,

donc

dK --^^^ -iï- i>^ — if\ dt =^ -tr- dt. r j.- — ^'"=^ I. Intégrant et remarquant que A s'annule avec t.

K=4vl, 1 = 2 A.

yGoosle

74 COVRS D'ÂiXALYS E

Les coordonnées d'un point M de l'hyperbole s'exprimenl donc, en fonction de l'aire A du secteur hyperbolique, par des formules analogues à celles qui donnent les coordonnées d'ur point d'un cercle en fonction de l'aire A du secteur circulaire

C'est en raison de cette analogie que les fonctions

s'appellent cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique de/; on lesécrit quelquefois

cos hvp /, siu Kvjf I.

On peut doue écrire

e'^ cos byp ( -|- sin hyp ; e~ ' = cos hvp / — sin byp /.

On trouvera dans le Recueil de formules numériques de Houf^l {Gauthier- Villars) , p. XVIII, 36-55, une table donnant les logarithmes de CCS fonctions pour des valeurs positives données de t.

3° Aire d'une courbe fermée. — Soit une courbe fermée, sans point double, qui n'est rencontrée qu'en deux points Mi et Mj par un rayon vecteur [fig. 26). Supposons d'abord l'origine hors // de la courbe, et menons de 0 deux tangentes OMj, et OM' faisant avec 0.v les angles Sq et d'. Soient ;■, et r^ les deux valeurs OM, l''l^. a(j. ^^ OM.^ des rayons vecteurs correspondant ii

un angle polaire 6. Les aires des secteurs OMj,Mj!\I' el OM„M,M' sont respectivement

et l'aire de la courbe, différence de ces deux secteurs, est

l'-ONCnO.yS PRIMITIVES. AIRE D'U.\ SECTEUR ^jS

On peut lipi'ire aussi , en Intervertissant les limites do la

formule i[u'oii peut interprète i* en disant que l'aire est égale à r intégrale

\jr'M=±j{s,l,j -^,j,h-]

prise tout le long de la coui'bo dans le sens indiqué par la flèehe.

Si te point O est intérieur ii la courbe {fig. 27), l'aire est donnée par l'intégrale /"T^

car 9 doit varier de 0 à 2- pour que M décrive la courbe. On peut dire encore que l'aire est donnée pat l'intégrale

^j,'M=^f(iJ,j-,jdx)

prise le long de la courbe dans le sens de lu flèclie.

On verrait, comme aii JV" 38, que les mêmes résultats s'appliquent aune courbe fermée, d'une forme quelconque sans points doubles.

Si la courbe présente un point double ifig. 20), l'intégrale

\j,'M=\-Ju,hj^,j,U),

prise le long do la courbe dans le sens de la flèche, représente, suivant les cas, lu différenve ou la somme des aires des deux boucles.