I.VFINIME^'T PETITS. blFFEUENTI E LI.ES

Divisons P„ P en n parties par des points P^, P^, .

nonsles ordonnées P,M,, P^ M„ ,P„,M„,.

divisent l'aire S en n parties que nous appelleron

L'rtire A étant évidemment la somme des parties diuis IcsrpioUes on l'a divisée, oh a

Inscrivons maintenant dans la courbe des - rectangles de la façon suivante. Par le point M^, menons une parallèle à Ox, M,, Hi. jusqu'il la rencontre de l'ordonnée M,P, ; par M, menons une parallèle à Ox, M, Hj, jusqu'à la rencontre avec M, P^, et ainsi de suite, par M„| une parallèle à Oj, M„i I1„, jusqu'il la rencontre avec M P. JVous formons ainsi n rectangles inscrits P,, M^

H, P,, P, M, HjP,,. .. dont nous appellerons les aires ^j, p^, ,p„.

Nous allons démontrer que l'aire A est la limite de la somme de ces rectangles quand n augmente indéfiniment et que toutes les divisions P^P^, P^ Pj, - P„-i P tendent vers zéro.

Il s'agît donc de démontrer que

lim (fl, + ^i^+ + ;-i,,; = A,

ou encore que la somme ?, + ?a4- + [*„!' mémo limite que

a,-|-aj + ««■ Pour cela, comme les quantités œ,, œ,, ,a„

sont toutes positives, il suffit de vérifier que tous les rapports

tendent vers I.

Supposoi

cFaborcl que le long t'e Turc M^, M rortloiiiiéo s dans le même sens, par exemple en croissant,

nous allons dûmontrer qu'il teud vers .1 ; la démonstration est la même pour tous les autres. Menons par M, une parallèle à Oj^' vers la gauche, jusqu'à la rencontre avec M^ P, en K,, et appelons y, et y^ les ordonnées M[ P, et Mj P^, àx l'accroissement P, P, de l'abscisse. L'aire aj=P,MjMjPj est évidemment comprise entre le rectongle P, K, MjP, de surface i/^ \x et le rectangle P, M, H, P, appelé p, de surface y, A.e.

Dlvi

s par </, i,i-

Quand n augmente indéfniiment, i.r tend \

iro, f/j tend

vers ^, et le rapport -^ tend vers 1. Donc ~J-, étant corn

!/i Pi

entre i et un rapport qui tend vers 1, tend lui-même vers 1.

inflNIMEKT PETITfi. DlfFÉREXTIE I.LES i3

La même démonstration s';ippHf[nant li tous les rapports, le théorème est démontré ; l'aire A est la limite de la somme des rectangles inscrits.

Si sur l'arc M^M l'ordonnée ne varie pas toujours dans le même sens {flg. 2), on peut partager cet arc en parties M„M;, M;Mj„ MpM le long de chacune desquelles rordoniiée varie dans le „même sens. Le raisonnement précédent s'applique alors à chacune des aires partielles limitées par les ordonnées des points intermédiaires Mj, M^, et par suite à l'aire totale A qui est donc, dans tous les cas, donnée par

.lim (;i^ + ;-î^+..

6. Expression analytique. — Appelons (fig. 1) a et ^ les abscisses des extrémités M^, et M„, .y,, x^,...,a\i les abscisses des points intermédiaires M,, M,,... M„, ; les ordonnées M^ P,,, M, P,,... M„, ■?„, sont /■(«), f{x,),---,f{'>'^i) ; les segments Pj, P,, P, P;,..., P„, P servant de bases aux rectangles sont .r, — a, a-j — j-,,...,,r — x„„,, et on peut écrire

A = lim [(,,-, - o) /•(«) + (a:, - I,) f {.,',] 4- ...

quand n augmente indéfiniment, toutes les différences x^ — a, .Tj — -j-,,..,, .T— j;„, tendant vers zéro. On peut écrire cette expression sous forme abrégée

A = lim S/(.r) \.c

le signe S signifiant qu'il faut faire la somme des produits de chaque ordonnée par l'accroissement correspondant de l'abscisse. On écrit habituellement

où le signe j qui représente une lettre S s'énonce « somme h. On dit .< A égale somme f{.r) <h-».

Cette expression 1 f{a-) dj;.est ce qu'on appelle une intégr.ale simple. Nous verrons procliainement comment le calcul de ces intégrales simples se ramène il la recherche des fonctions primitives.

7- Valeur algébrique de l'aire d'u iiemeiits géométriques que nous avons faits sont indépendants de la disposition de la courbe par rapport aux axes des coordonnées. Mais quand nous avons établi la formule

A = ll,u [(,r. - a) f{a) + (.r. - x,) /(^J + ..,] = lim S f{x) Aj; = ^ fix) dx,

nous avons supposé que l'arc M^ M était au-dessus de Ox et que X était supérieur à a.

Voyons ce que représente cette mênie limite quand ces conditions ne sont pas remplies.

Supposons d'abord que x soit supérieur à a mais que l'arc

Mj,M soit au-dessous de Ox[fig. 3). Alors dans l'expression analytique que nous avons écrite

A =lm, Rx,-») /•(»)+ (,,-,,) /■(,,) + ...+(» -.t .,) /■i>.,)l

toutes les ordonnées f{ci), f{x,) ,■■-, f{x„i) sont négatifes; les

produits [x, — a) f{a), [x^ — x^) f[x^, représentent donc les

aires des rectangles inscrits changées de signe et la somme de ces produits a pour limite l'aire Pj, M, M P changée de signe. Pour ne pas avoir ii modifier les formules, il suffit donc de regarder comme négatives les aires des segments situés au-dessous de Ox; ou aura encore, dans ce cas

Si l'arc AIq m [fig. 4) est partiellement au-dessus et partiellement au-dessous de l'axe 0 x qu'il coupe aux points M', M" M'', dans l'expression de la somme

A = lim [(,, - a) f[a) + (x, - ^,) /-(x,) + ...

lyi-'lylMENT PETITS. DIFFERENTIELLES

S nires de ceux des rectangles inscrits qui sont i ) l'axe entrent positivement et les rtires des rectangle!

sente donc la différence dessus et les aires des s

lit iiégallvemenl. La somme A reprt itre les aires des segments sitnéa ai ments situés au-dessous de l'axe O.r.

A = P3I31"— M'R'M" + M"R"M"' — il'MP.

Cas où .•■ est infcrie.urù(i.

Si .r était intérieur à a {fig. 5), les différ

représenteraient les bases des rectangles inscrits <h<iiigèc!f de signes; dans la somme

les aires des rectangles à ordonnées positives entreraient donc négalivenicnt et inversement.

L'expression

l6 COCUS D'AXALVSE

représenterait alors la différence entre les aires inférimiros ol les aires snpérieures : M' RM" — PMM' — M" M„ P„.

Dans tous les cas, nous conviendrons d'appeler cette exjiression la valeur algébrique de l'aire P^, M,, MP.

REMAiiçrE. - — ■ Les définitions précédentes s'étendent d'ellesmêmes au cas oii la fonction /"(.î^) présente des discontinuités en nom]»re fini enire <ï cL .r, T,a courbe y = f{.r] a alors une forme

^^•"Ll,

comme celle de la figure 6, 0(1 il y a deux discontinuités pour les deux abscisses OH et OK. L'aire de cette courbe a une valeur parfaitement déterminée, donnée toujours par la formule I f{x) dx ; en supposant n< x, elle est la somme algébrique des aires 1, 2 et '^■, où l'aire ii est néffalive.