Volame de révolution engendré par une courbe fermée

plane. — Soit, dans le plan des .rz. luie courbe fermée C située d'un même côté de l'axe de révolution Or f/?^- :i(i).

Proposons-nous encore de calculer le volume engendré par la rotation de l'aire C autour de Or. Pour cela, menons les tangentes à C perpendiculaires a Or-, P(,M^ et P,M,. Une parallèle à Ox située il une hauteur OP ^= z coupe la courbe C en deux points

M' et M" d'abscisses x' et .r". Le volume cberciié V est la dillerence des volumes engendrés par les segments P^MjM'MiP, et 1\]VLM"M,P. :

On peut écrire aussi

en intervertissant les limites de lu deiixième intégrale et changeant son signe. On peut dire alors que le volume V est égal ii l'intégrale

prise le long de lu courbe C dans le sens de la flèche; c'est ce qu'on convient d'indiquer par l'indice C.

Le moyen le plus simple de calculer cette intégrale i3) est d'exprimer les coordonnées .r et .z d'un point de la courbe C en fonction d'un paramètre t,

de telle façon que, l variant de a ii /-, le point de coordonnées x et z fasse une fois ie tour de la courbe C, dans le sens de lu flèche. On a ulors, en prenant C comme variable dans Vlntégrale (3),