Cas où la courbe coupe l'axe

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évaluera séparément les volumes engendrés pur les deux aire

rOf.LME D'UN SOLIDE A HASES PARALLELES

AC,B et ACjB, situées de part et d'outre de l'axe 0:^. 11 est l'iicile de vérifier que l'intégrale

prise le long de la courbe C diins le sens de la ilèche, représente, alors, la dilFérence V, — V^ entre les volumes V, et V, engendrés par les deux aires A C, B et A C^ B.

F.ii effet, le volume engendré par A C, B est

x^ désignant l'abscisse d'un point de l'arc AC,B et l'indieo (AC, B) de l'intégrale signifiant que cette intégrale est prise le long de l'arc A C.B.

De même, le volume V, est

d'un point de 1' volumes est

\ désignant l'abscisse d'un point de l'arc AC^li. La différence de ces volumes est

et, en intervertissant les limites changeant son signe,

l'intégrale étant prise le long de la courbe dans le sens de ] flèche.

Ainsi, dans ce cas, l'intégrale prise le long du contour reprc

sente la différence des volumes engendrés pur la portion d'aii'i.placée à droite et la portion d'aîre placée ii gauche de l'axe. Ce fait devient d'ailleurs évident si l'on remarque que, *■ et z désignant les coordonnées d'un point M qui décrit la courbe dans le sens indiqué, dz est positif quand le point monte et négatif quand il descend. La somme

'dz-

contient alors positivement les éléments du volume engendré par l'aii'e A C, B et négativement les éléments du volume engendré par l'aire B C, A.

53. Exemple. Volume du tore. — Le tore est une surface de révolution dont la méridienne est un cercle. L'axe de révolution étant pris pour axe Or, prenons pour axe des x la perpen-

diculaire abaissée du centre G du cercle générateur sur Os. Soit OG = a, et soit R le rayon du cercle. Nous supposons que le cercle ne coupe pas l'axe, c'est-à-dire que a est supérieur à R. Le volume V du tore est égal à l'intégrale [fig. 38)

la circonférence du cercle générateu

. Or 1,

et z d'un point M de cette circonféren

ce sont

:r = a -)- Rcos t, ; = Rsin(

VOLUME D'UN SOLIDE A BASES PARALLELES gli

l désignant l'angle ^ 0 M. Pour ([ne le point M fasse le tour de lu circonférence dans le sens de la flèche, il t'aiiî faire vitriee t de I) à 2ii.

Donc

V = t:R 1'";^ + R eos /)' cos /(//,

V=-n^R rcosï(/; + 2TO(R^ /cos^^i^f +7:R'' / ci.)s~ (d/.

La première et la dernière intégrale sont nulles ; en oilcl, dans l'intervalle de 0 îi 2 t, les fonctions cos( et cos^l prennent des valeurs deux à deux égales et de signes contraires; les éléments de chacune des deux intégrales ont donc deux à deux des sommes nulles, et les intégrales elles-mêmes sont nulles.

Quant à la deuxième intégrale, en y remplaçant cos^ f par

l + cos2( ,, , . , :^ , elle <levient

= TïR^

Le volume est égal à l'aire du cercle générateur multipliée par !ii cireonfércnce (jue décrit le centre du cerele en tournant autour de l'axe.

Cas Où le cercle coupe l'axe. — Si le cercle coupe l'axe (cercle pointillé dans la figure 38), a est moindre que R. L'intégrale

prise le long de la circonférence du cercle générateur dans le sens de la flèche, est égale a la différence des volumes V, etVj engendrés par le segment AC, B et le segment BC, A. On a donc alors, par le même calcul,