V. — V, = iîR
yGoosle
54- Centre de gravité d'une aire plane homogène. — Théorème de Guldin. — Quand on connaît le centre in gravité d'une îiîre plane supposée homogène, on en déduit l'acilement le volume engendré pur cette aire tournant autour d'un axe fixe Or de son plan.
Commençons par rappeler les formules donnant le contre de gravité d'une aire plane.
Soit une aire plane homogène A, rapportée à deux axes 0,r et Oz, G son centre de gravité, et X l'abscisse G Ci' du centre de gravité. Nous allons montrer que l'on a
l'intégrale étant prise le long de la courbe C qui limite l'^iiic. dans le sens de la flèche {fig. ■SG ei 37).
En effet, décomposons l'aire A. par des parallèles à 0 .r en rectangles Infiniment petits M' X' X" M" de hauteur tf .', et appelons ,r' et x" les abscisses des deux points M' et M". Le centre de ffravité C du rectancrle, étant au centre de figure, a pour abscisse
D'ailleurs, quelle que soit la position des deux points M' cl M' par rapport à l'axe, qu'ils soient tous les deux d'un côté comme dans la figure 30, ou l'un a droite et l'autre à gauche, comme dans la figure 37, l'aire du rectangle est
Le moment de l'aire du rectangle M' X' X" M'' par rapport à O : est donc
ou
VOLUME D'Uy SOLIDE A BASES PARALLÈLE
time (le ces moments éteiidne à toute l'aire esl
in.
en iippelimt ,-li et ri les r des points '\\a et M^ siiiiés au plus bas et au plus haut de la courbe.
Cette somme étant égale au protluit do l'iiiie totale A par l'abscisse X du centre de gravité, on a
Or, cette dernière intégrale est. conimo nous l'avons vu plus haut, égale à l'intégrale
prise le long de hi courbe limitant l'aiie A, dans le sens de la flèche. La formule (5) est donc démontrée.
On trouverait de même l'ordonnée Z du centre de gravité G, par la formule
Théorème de Guldîn. — Le pobiine engendré par une aire plane A toiirnunl autour d'un aae Os situé dans sun plan et qui ne la traverse pas, esl égala l'aire A multipliée par la circonférence décrite par le centre de gravité de l'aire supposée homogène.
En effet, nous avons trouvé (n' 5.1) que le volume engendré V est donné par la formule
Mais la i'ormiile (5) montre que l'intégrale du deuxième membre est égale à 2 AX, X désignant l'abscisse du ceutre de gravité. On a doue
yGoosle
yC coriis w.i.Y/iij'.v/;
ce ([ui dii montre le théorème, ç:u- 'It.X oii2ttGG' est lit eircoii
féifince décrite par le oeiihc do gravité.
Cas où la courbe coupe l'axe. — Ditns vc ciis, la dilï'éreiic des volumes V, et V,, engendrés par les parties de l'aire situées droite et a gauche de l'axe, est encore donnée par la formule
Onadonc ;durs, d'après ,5: :
Ainsi, en appliquant a imc aire qui traverse l'axe la formule fournie par le théorème de C.iildiii, on trouve la différence
En particulier, si on lait tourner nue aire phine autour d un axe de son plan passant par le centre de gravité, on a X ^0,
ce qui signifie que les volumes engendrés par les deux parties A C[ B et A C, 13 sout alors équivalents.
Le tore fouruit un exemple simple de l'application de ce théorème. Nous avons trouvé en effet que le volume du tore égale l'aire A = -n R' du cercle généruleur multipliée par la circonférence 2n£t décrite parle centre du cercle, qui est évidemmentson centre de gravité.
cnAPrrnH iv
JÎI^CTIFICATIO.V W.ti COUmSES. — AIRES DES SURl'ACK DE RKVOLU'llOX ET i)V.S SURl'ACES CONIQUES.
55- Longueur d'un arc de courbe.— l'rciioiis siir nui; i^onrLo Jonnce, pl;inc ou gauche, deux points A et B. Par définition, la longueur de l'arc de courbe AB est la limite vers laquelle tend
le périmètre d'une ligne brisée AM,Mj, M„iB inscrite dans
l'arc, quand le nombre des cotés de cette ligne augmente indéfiniment, cbacnn d'eux tendant vers zéro {fi}-. 39).
iSousadinotlrorisd'iibord que l'cLte limite e.viste et est indépendante de la lôT suivant laquelle on lait, tendre les côtés de la ligne Kr'îséè Vers zéro. Nous admettrons, en outre, que la longueur de l'arc ainsi définie possède, comme un arc de cercle, cette propriété que le rapport de la corde à l'arc tende vers l'unité quand l'iirc tend vers zéro. Voici comment on peut alors obtenir laciloment la différentielle de l'arc.
Soient
les coordonnées d'un point M de la courbe exprimées en l'onction d'un paramètre /. Appelons s l'arc de courbe O'M compte
(|H COt'BS D'ANAI.rSE
à [>^irlir il'iuiu (irlginc lise 0', prise sur 1;l rombc, jusifii'a point M : tct jirc est évidemment une l'onction de /. (^iiaiid o fait croître t de 4/, les coordonnées ,r, //, : subissent dos accroi scmcnts ir, iy, Iz, le point M se déplace de M en M' et l'arc cioîl d'un ;trc M M' égal à A,v. On a alors
,,1'deMM':
arc MM'
ordeMM'
Va.
^(^m^iWf
Quand A; tend vpi-s zéro, h- vafpmt Ji- l'arc ii la oiirJc tnid
nous 1 admoltims; - ■ ■ ' ■ -
,h ri.:: ,1g r/r
on eu d<''duit, eu chassant le dénoniliinfeiir, puis multipliant
(a'Uo lormule est aisée à retenir, car elle exprime i[IH' î'ar;- Infinimeut petit MM' esl égala sa corde.
renliolle do Viu-c. On poui-ra p»BKor celle (tonio.ifilr;ili(HL di Soil, dans l'espiire, une «ourho, pleine oii giiuclio, Irllo qui
IlECTII-lCATIOy DES COlIniKS ag
«dmclleiiL des dérivces /' ((), o'((), 'Y (l) ligaloment conliniics ; enfin, Hupjiosons que, ( variant de a S, b {a < h), le point M (a:, y, 3) dccrivp tin iirc de courbe AB eu se déplaçant toujours dans le niÈmo sens.
Prenons alors une série de valeurs de ( comprises diiiis I iiilervalli' 11, /' <■[ ranj^éeft par ordre de grandeurs
;i cv.^ v^ileiirs de ? eorrespondeiil sur la tourbe des points M,. M.^....,M„., Nous allons démontrer que le coulour polygonal AMjMj,. ..M„.,B lend vei une limile quand, le nombre h augmentant indélinimciil , lonlos li s diff
lendeiil vers xéro. Celle limile esl ce qu'on appelle la longueur de l'arc AI!, pour longueur
tendeni vers les dérivées /'((/,), cf\//,i,... quand Z/.^, — /,
flonsi'quent. le rapport tond vers la liiiiilc
M,M,., ^(/,.„ - /,) yr [tu) + f\t,] + i,-^ [1,] + '^,1
Sh étant une quantité qui tend vers zéro en mi^nie lemps que ij^j — li,. Tellu est l'expression de l'un des côtés du polygone inscril dans la courbe. Pour avoir le périmètre P de ce polygone, faisons la somme des ridés IVI(.Mj.j.|, eu
/„^n. cl l„ = l>. NoiisMiioiis
l' ^ i [I,. ., — '/,'t V'/'-l'Aj-|-?'-(''.-) + 'FTû) + i; ('/,. , — ''1 =;.-
Q u ai] d le nombre des points de division (,, , («-i aiigmeiilc iiidcliniiiieiil.
chaque différence (4+i—(,,.tCTid,iiil vers zéro, la première somme loml ver» rinlégrnle déliiiïe
(1) j ^'nnTW^ïï+¥ïf', ''t-
Quaiit à la liouslùuie, elle tend vers /.éeo : eu ellut, eu Hp^jelatil s au nombre positif égal en vnleur absolue à celle des quantités sj^ qui a la plus Jurande valeur absolue, on voit que la valeur absolue de S(44t — '(■}:;; est moindre que £1:((a+i — h), cest-à-dire moindre s[l,~a). car
SCi^, — (i) = *, — « + (,— ', + 'a -'i+-. + /' — '"-, = ''-"; d'après les hypothèses faites sur la nature des foncLÎons f, 6, >};, s tend vers zéro, quand toutes les diirérenoes (/i+i — (^ tendent vers zéro et la somme '^{tkti — ■ (ijïi tend bien vers zéro. Le périmètre P tend donc vers l'inlégvMle déllnie : celle limite de P est la longueur de l'arc de courbe considéré.
Si, au lieu de calculer l'urc AB tout entier, on avait calculé la longuenr ,« d'un arc AM, M correspondant a une valeur do t comprise entre a et h, on aurait trouvé de même
dx =f':l)d/. (/.(/ — f' 1 1) (II. i/c — i' . /) (//,
ds =1 Y</x~ + <■/(/- -r '/:- ■
Voici qiicl<[iios ;(p[jlii;i»tioiis îiii me (.liâtes de ces l'orniiiles. Noiistiii donnerons d'i»utres, notamment la rectification de l'ellipse, (juiind nous aurons étudié les développements en séries de puis-
56- Chuînette. — l.a courbe appelée chaineite est la figure l'équilibre d'un fil homogène pesant suspendu par ses deux extré-
nltés. VA\(i a pour équation (//>. 40)
REVni'-l'CATION DES COCItflES
a désignant une longueur. Celte courbe est symétrique jiiir tiip- ^ort il l'axe Oy ; elle u la forme in(li(iuôi' sur l;i ligiirr; W'J ; l'ordonnée du sommèlB est égale ii n.
Calculons l'arc BM:=,v. Nous prendrons ici l'abscisse comme le paramètre en fonction duquel s'expriment les coordonnées. On a
,1, .--, V,h' -+- ,1,/- =. T^ \'', + (eT ,- v]' ,?,,;.
Kn développant lu quantité sous le radical, on voit qu'elle est ■le caTré de e'^~\-e~'^.
\ia intégrant et remarquant que .v dui du point M, on a
Il est aisé de coustruiri la relation
rilie immédiatement
lU-j COUli.S D'ANALYSE
iiuî purniol de ooiistiiiirc .s- comme l'ôîé <.lc l'iuigle dioÎL d'un trijTLigle ayant pour hypoténuse ij et pour autre côté a. Voici comment on peut l'aire cette construction : menons la tangente on M, l'ordonnée Ml', et abaissons la perpendiculaire P(^ sur !a
tiiiigeiUc : nous niions monLrer que
\H'.---^a, MC-s.
Kn .-ITct, l'uiiglc 1 i\w<: lait la tangente on M itvcc O.î; est lel (jiie
donc, d'apt'i-s la v.louc de .s',
tilllgT -^ -^.
On en coiiolii!, comme rt'^ + s-.- f,
Comme, diiiis l- trianfrle MPC, l'anfile en P est égal It i, on a
MC -. y siiicr ==..», PC , //cos5^(,.
Rkmaiioie. — s; on npijellc A relire du segment OBMP, .)n a
d'in'j, on Inlégrant et remarquant que A s'iuniule avec j:,
L'aire A est donc le double de l'aire du Iriande MPC.
fiKCriFic.iTioy i)A'.s COURUES »oi
5T. Cycloïde. — Calculons l'arc OM de la cycloïde {/Ig. 17). En iippolaiit n l'iiiigle dont le cercle a tourne, tin i\ trouvé (n" 37) pour les coordonnées cln point M
a tlésiguant le rayon dn cercle roulanl. On on eonclut
■/.i- I — cosH '^ 2 '
Cette formulo montre que la tangente coïncide avec Iti droite MB joignant M an point B diamétralement opposé , au contact. Kn efi'et, cette droite MB fait avec Bl nn angle moitié de ICM, c'est-ii-dire égal a -^ : elle lait donc avec O.r l'angle
^ — ^ et son coeriicienl inigiiîalji- est bien olang-^. On a
.h ^ \iilx'^dif=^a l/(] — eos ,,)'^+ sin^ <, du. Développant et remplaçant l — cos ?/ par 2 sin' -y , -on trouve
d'où, en intégrant,
L'are, étant eompté à partir de 0, doit s'annuler pour «— lO; donc <- — - ^ Il et
COURS a-AyALYSK
V.i\ p;.rticulier l'arc 0 0', termim-nii poiiil ic plus hautO'tîola ^ycliiVcle, correspond il (/;=----r. Ooiic
KEMAïKjiiK. — L'arc OM cW r^w/ an <loul>tc de la tangente M !î. V.n effet
arc O'M ^ ;.ri' 00' — a.T OM = /j „ cos -^-
Le triangle rectangle I M lî, dans lequel rmiirle en B est ~, dounc
MU = 2^/e<.s^;
arc O'M = 2Mtî.
58. Parabole. — Soit une parabole rappoi-tée ii son oxe O^ et à la tangente au somnïet 0,r {fy: 41) :
On 1, et, cit intégi'imt,
Appliquons la l'ormtile (riiitt^grahoii par piirlies
CTII-ICATION
l.:i (IcniUTo Liité<nule peut sV-crlii
On a Jonc
ou eu t'ésolviuit , prtr rapport li *■ et remiirqii;u(t (pic l;i coiisfanle ( est nulle, i';ir h s'aiiniilf îivcc .c,
Telle est l'expression demundée. Interprétons géométriquement los diverse quantités- figurant d,ins ^ la formule. Si oiï
<:OVRS D'ANALYSE
iiliaissc l'ordoiiiiûe M!', un Sitit que le poiiil T où lii liiugoiile en M ,?<nipe O.v ost un milieu de OP. Donc
La projection du foyer F sur la tiingente MT se (ail au point T, situé sur la tangente au sommet Ox. On a clone
]■■■[■ \JW + (7F= ±- \l,r + J .
i'oitiiitt cliiiis l'oxprcssiL.n c[un, ou ii
.-= JIT + -S-1,,,
, La rfui/nel/f i-.s! le l.ii;u du foi/er (Viini> pitrahole
qui roule fiarts glisser sur un. axe fixe. — Soit O'X l'axe fixe considérons une position de la parabole voulante, soit O so
criFiCATioy Di:s
soiiiiiH!t, Oij sou iix(!, Ox la tangente au sommet, M k point de contact avec O'X, et ï l'intersection de O.r et O'X. Supposons que l'origine O' soit le point avec lequel a coïncidé le sommet O
diins le roulement, de sorte que {fig. 42)
Le loyer V se projette en T sur O'X : en appelant X et Y les coordonnées de F" par rapport h O'X et â la perpendiculaire C'Y,
X3=0T:-==0'M —MTr^arcOM — MT;
Y ^ FT, OT = sjy'— -Ç-
D'après l'expression el-dessus fi ! de l'arc 0^] ^ ,v, on a doue ;
équation du Heu décrit par le l'oy(!r. On peut écriie :
et, en ajoutant.
équiition iVuna ehainetle, dans laquelle /i^4y
