i:vrMi.Li£. Cardioïde. — Soit un cercle de diami-tre

vecteur OP du cercle d'une longueur coiislanlc égale au diamètre du cercle {Ji.f;. W;

Le lieu d(' M est une courbe appelée cardwïdii. Kn prciiatit le diamètre OA coannc use polaire, l'équation de la courbe est

/■= rt(l + cos 6).

Alors

,lt = o v/siir 1 + (I + cos I))' ,ffl,

,h = ,> 1/2 (1 + c.is I)) S = 2 o cos -y S.

iti lOrns D'AXALYN!!

[.u ]aiif.iii>iiJ' d'iirc AMO, coi-responcliint à 'l = -, est ilonc

62- Formule générale. • — ^ Pieiions comme iixc des ^ l'jixo df lit siirlace de lévoliitioii . Le plan des .r; coupe lii surliice suivant une courbe iippelée méridienne de la surface. Prônons sur cette méridienne un ni'c continu AB situé du côtr des .r [^oKltil'';: nons n(ms proposons de ealculer l'aire en^etidici' p;ii' l;i i i'Militlion

de Ali aulcKir .Ir 0-- : celle aire esl limilée \>av les deux par;dlèles A«A' et B/>B' décrits par les points A et B. Xnus avons représenté sur lu ligure 45 le quart de l'aire, quarl sihié dans le dièdre l'ormé par les plaus zO.v et zOij.

Inscrivous dans l'arc AB une ligne polygonale AMiM^... M„,B : quand la ligne AB tourne autour de O;, la ligne polygonale engendre une aire composée de la somme des surraccs latérales

A/KI': D'iyK aVRFACi; DE IlEVOI.lTIOy iii

lie n trimes de cône. L'aire engendrée par l'arc AH est, piif Jôliiiitkm, la limite vers laquelle tend l'aire engendrée par la ll(;tu^ polygonale inscrite quand le nombre n de ses n'ités aiijrmi'iiH' indéfiniment, cliacii» d'eux tendant vers zér<i.

Soient M et M' deux sommets consécutifs delà Wj^ac |iol)"j^(inalc ayant pour abscisses .i et .r -|- i.r ; .ï'^MP, .t + i''^ M'!''. L'aire engendrée par la droite MM' est égale à MM' multipliée par la demi^somm-^ des eirconféveiices des bases du troue

L'aire cherchée A est la Ujnite de la somme des quantités analogues évaluées successivcmeni pour tous les cotés de la ligne polygonale :

(1) A = lin. ^2 .(.,•+ Al) MM'.

le signe X indiquant qu'il laiit laite la somme des quaiitlti's qui le suivent.

Soit As h. lonirm-ur de l'ai'e J\IM'. Cotisidéi'ons la somme

étendue aux diil'érents arcs sous-tendns par les côtés de la ligne polygonale. Nous allons montrer que cette nouvelle somme {'2j a môme limite que la première (1) quand les côtés de la ligne polygonale tendent vers zéro.

En effet, dans la somme (1), tous les éléments ont le luènu' signe ; le rapport d'un élément de la somme (1) à rélémenl correspoiidant de la somme (2'

yGoosle

il l'iu'c soiis-teiitUi. "Donc, d'après le théorème l'ondamental

sommes tVinfinîment petits {n" 4}, les sommes (1) et (2)

■(■ liiuile est l'intùgriile f'ir.rt/.'! T du siffLie d'intôffiuLlori,

Celle dernière lonniiîc

que

l'nire A est la somme des aires des troncs de <

drés par les éléments d'arcs infiniment petits <?«.

Pour calculer elïectivemeiit A, on exprimera les coordonnées :f et ; d'nii point M de la méridienne AB en fonction d'un paramètre it, de i'açon <jue le point M (.f,.;) décrive l'arc AB ([uand

Js .- ^tU- + dz' ^. V'r (") -i- ^" i"i '^■"'