Aire d'an ellipsoïde de révolution allongé. — Sol
l'équation de l'ellipse méridienne OBA dont nous figure quart : le grand axe OA ^ a de cette ellipse est dîi'igé suivant l'axe de révolution O.-. Nous pouvons exprimerles coordonnées d'un point M de l'ellipse en posant [fij^. 4G^
et, pour que le point M décrive l'arc B.\, il faut ,v faire varier» de 0 à ^- On a
(h = </(U' -h dz' = SU'- siii- ,H-«'eusw/ ,/«,
yGoosle
ii4 COl'R.'i li'A^'ALYSf:
OU, eu remplaçant cos^n par i — sin-n et introduisant l'excentricité e = — \^a^ — Ù-.
Alors l'aire A = 2^ f.iY/*', engendrée par l'arc BA, est
A ^ 2w;i /' ' v'i — (-'sin^ï^cos-; ,/«.
Pour évaluer cette intégrale, Taisons un changement de vaiiable en posant
(^ sin » ^ sin /;
// partant de 0, nous prendrons pour I lu valeur 0 ; ;; ci'oissanL,
(croit, et, pour «-— -^, l prend une valeur /, définie pai'
(; = sin /,, /, =r i.\rc, sine.
/l ^e^sin^ H = cos/,
A = / nos- tdl.
lH-cos2/ . ,,. , , . ,.
Remplaçant cos-/ pur — — , on voit que I intégrale iiido-
7t«/, r sin2/, 1
Remettons pour /.sa valeur arc sine, en remarquant que sin 2l,= 2 sin /, cos /, = 2e'/ T^^^
il vient enfin, pour l'aire du demi-elHpsoide, /arc sine ,-; 7-\
AIHE D'UNE SURFACE DE REVOLVTIOX
Comme vcriticationj on doit retrouver Taire d\in hémis
(.le rayon a en faisant 1/ ^=a et, par suite, e-.-O : cfFectivemf
, arc sine ,
u alors — ■ = 1 et
65. Aire d'un ellipsoïde de révolution aplati. — La dienne est une ellipse AB ayant pour petit axe l'use de ri tion Oz; son équation est (fî^. 47)
On pont éi^rlrc, piiur les coordonnées d'un point M do la dienne,
X = a cos H, z =h sin u ,
n variant de o à -^ qvuind M décrit l'arc AB- 1j
Alors '■'^■
(h = \^a' sin' H^b'KO^^,, du, ou, en remplaçant cos^" par 1 — sin'^f et introduisant 1
rf* = /Vl + /'-sin^» du.
On a donc, pour l'aire du demi-ellipsoïde,
A = 2T:j",r(/«=2T:^/,y Vi+Tsin^" «os/, du.
En désignant par e la base dos logarithmes népériens, 1 le changement de variable
iiG COUBS D'ANALYSE
Il partant de 0, ( part de 0 ; u moîssant, f cioît, tst, poi t preridi'a nno valeur t^ définie par
/■=^i. ', = iog[/'+VTT7'].
Conimo
fJ.
1 peut, doue éerire enfin
Comme vcrifiealion, quand li tend vers a, f tend vers 0, et on doit trouver l'aire d'un héniisphère de rayon a. Effectivement, quand f tend vers 0, lit parenthèse se réduit il 2 et on a
66- Aire d'un tore. — Le tore est engendré par un cercle toui'nant autour d'un axe O.:. Supposons que le cercle ne coupe pas l'axe {fig. 38) et prenons comme origine la projection du centre G du cercle sur l'axe de révolution. Soit OG ,-= a et soit R leravon
