I -\- R sin /, el l'intégrale définie 2 r.a
A=2T^R.2ra.
T^^'li.
e rpn prt
L'aire A est donc égale à la longueur de la courbe qui lournc (2 7:R), multipliée par la circonférence qne décrit le centre de gravité de cette courbe (2-;c«). C'est lii un cas particulier d'un second théorème de Guldîn (n" G8).
6T . Gas où la courbe traverse l'axe. — l>ai nous avons supposé que la méridienne AB de la surface ne traverse pas l'axe. Supposons qu'elle le traverse au point E. Alors on évaluera séparément l'aire Aj, engendrée par lu rotation de l'arc AE, etl'aire A,, | ^ ^ engendrée pur la rotation de EB. Pour un i '^^, point M de l'arc AE, l'abscisse .r est positive. Ona donc {fi^'. 48) i ■
l'intégrale étant prise de A en E. Pour un point M^ de KB, l'abs-
ii8 COUSS DANALySE
cisso .ij est négative. L'élément c/.s placé en M^ eiigcniLlre la surl'ace latérale d'un ti'onc de cône, dans lecjnel le rayon de la circonférence équidistante des bases est — .r,. L'aire de ce tronc de cône élémentaire est
— 2 7-..Vjh,
et l'aire A, engendrée par KB est
Cakidons la différence A, — A^ de ces aires. Xoiis iinrons
A, ^ A, = 2 t; f.i,,h + 2 t: j'.r^ih.
La somme des deux intégrales du deuxième mcmlire est évidemment l'intégrale 2t. f xds prise le long de la courbe de A en B.
Ainsi, diins ce cas, l'intégrale
qui représente l'aire totale quand la méridienne AB ne traverse pas l'axe de révolution, ne représente plus que la diil'érence des aires engendrées par les arcs de méridienne placés de part et d'autre de l'axe. Cela se voit d'ailleurs a priori, car, clans
le facteur ds est positil, mais ^ est positif ou négatif suivant que l'élément ds est à droite ou îi gauche de l'axe O;. Les éléments d'aire, provenant d'éléments linéaires ds situés ù droite de O^, entrent donc positivement dans celte somme et les autres négativement. Par exemple, pour le tore, quand le cercle générateui' coupe l'axe (cercle pointillé de la figure 38), l'expression
yGoosle
AIRF. D'U^-E SURFACE DE IlÉVOLUTIOy mj
représente la différence des aires engendrées pur les ;u'cs Ciet (;,.
68- Centre de gravité d'un arc de courbe plane supposé homogène. Théorème de Gxildin. — Soit lui are ilo courbe plane AB supposé liomogène, rapporté jideu\ axes O.r et 0.;. Soit G le centre de gravité ; de cet arc, X et Z ses coordonnées. Si ou prend sur la courbe un élément ds, le moment de ds ~ par rapport ii 0.3 est 3;ds ; la somme ;dg< brique de ces moments est (fifi;. 49}
l'intégrale étant prise sur l'arc Alï. D'autre part, en appelant / In
longue
r totale de l'arc, la somme de ces moments e
\l=f.vds.
On trouverait de m^>me, en pr( à 0,r,
7J = fzc
Ces formules déterminent les coordonnées du centre de gravité G de l'arc. Klles conviennent, quelle que soit la position de l'arc Alï par rapport aux axes.
Théorème de Qvldin.. ~~ L'aire en^endi'ée jja/' une li^iic plane, (ournajit autour d'un axe situé dans son plan et ne la traversant pas, est égale à la longueur de la ligne multipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de la ligne supposée homogène.
En effet, l'aire engendrée par la ligne AB est, d'après ce qui précède,
i■^o COURS D'.i.y.i/.rs K
niiiis l'intégrale du second membre est égiile à X /, on a donc
ce qui démontie le thcorcme, car 2t:X esl li> circoiilerenco de rayon X =; C C que décrit le centre de gravité en tonmant.
Cas où la méridienne AB traverse l'axe. — Dans ce cas, Id différence des aires e/igendrèes par les parties de la méridienne A B situées de part et d'autre de l'axe est donnée par la môme intégrale
2 7t Ç.rds,
