I.ItzX

L'application du théorème de GuMin donne donc alors ladilTérence des aires engendrées par les parties de AB placées de part et d'autre de l'axe.

Par exemple, si le centre de gravité de l'arc AB était sur l'axe, on aurait X =0 : les parties de la méridienne placées de part et d'autre de l'axe engendreraient des aires équivalentes.

III. — AIRE DUNE PARTIE DE SURFACE CONIQUE OU CYLINDRIQUE ; ENTRE DEUX GÉNÉRATRICES

69- Formule générale pour une surface conique. — Soit une surface conique {fi^. 50), dont le sommet est îi l'origine 0 eldont la directrice D est une courbe gauche quelconque, telle que les coordonnées d'un point M de cette courbe s'expriment en fonctions d'un paramètre ïpar les formules

(M) :.■=/■(', ? = =('). = = iV:-

Considérons la portion S de surface conique limitée par une génératrice fixe OMj,, une génératrice variable OM et l'arc M^M de la directrice D. Cette surface S est évidemment une fonction du

AIRE D-L'XE SURFACE CONfQUE

paramètre / définissant la position du point M. Quuml < croître t de dl, le point M se déplace infiniment pen de M en ' coordonnées de j\l' sont .r -+- ihi; y -j- dij, :■ 4- àz, et la s

S augmente de sa différentielle t^S, égale à l'aire du secteur infiniment petit MOM', qu'on peut confondre avec le triangle MOM' :

./S = MOM'.

On sait que l'aire d'un triangle dans l'espace est égale ii la racine carrée de la somme des carrés de ses projections sur trois plans rectangulaires. Si donc nous appelons dS^, dS,„ rfS, les projections du triangle M0^[' sur les ti'ois plans coordonnés yOz, :0:r, xOy, nous aurons

Evaluons d^.. La projection de la directrice D sur le plan xOy est une courbe D', lieu du point P du pian xOy dont les coordonnées sont données par .*■=;=/ (ï), j ^ ç ((). La droite OM se projette en OP. La droite OM' se projette en OP'; le point P' ayant pour coordonnées x + dx, y -f- <^y- Le triangle MOM' se projette donc sur le triangle POP' qui a pour surface (N" 41)

•>-■>. COURS D'ANALYSE

On trouve lIë mèmu, en permutant, On a clone la ibriimle ;

ou eiicoi'o, en roniplaçiiut ,i-, //, c on fonction de / et d.r, dij, d: par /'(')*> ?'(')*.'!■'(')<''.

rfs=-j-i/(=i'"W+w--ftr+i/ï'-?/')*'"-

En intégrant tic /„ ii ;, on aura l'iûrc conitpe limitée par les deux génératrices 0,M„ et 0;\I.

KsEMPLE. — Prenons, par exemple, lu courbe gauche tlu troisième ordre définie par les équations

et cherchons l'aire de la surl'ace conique ayant son sommet à l'origine, ayant cette courbe pour directrice, et limitée par deux génératrices fixes OM,, 0-\[ et par la dlrecLrice. Actuellement

,/.r = i- df, ihj ■= 2; ,//, dz =3 C'di,

ydz — zdij = [""dl, -rf.r — .fdz = — ■ t^dt,

.fdji — ydx = — (hll.

ds.j,^;