MM

-M'ir,

71. Aire d'une partie de surface cylindrique. — Soit, dans l'espace, an arc de courbe AB décrit par un point M de cnordon-

Considérons le cylindre projetant cet arc de courbe sur le plan des .nj en A,B,. On veut calculer l'aîre ABB|Aj limitée par

les arcs AB, A^B, et les génératrices extrêmes A A, etBB,. Soient M et M' deux points infiniment voisins de AB correspondant aux valeurs l et t-{--dt duparamètre. Soient M, et M', leurs projections. L'élément MM' est un élément d'arc ds de AB, l'étéraent M, M', est un élément d'arc ds^ de la projection A|B„

I/aivc du rectangle élémentaire MM'M',M, est

A!HE O'UNE SURFACE CYLISDRIQUE laT

La siirrace, qui est la somme de ces rectangles, est donc

S =i'-<l>^, =f- \/<Li'+'l!j'.

Si on veut introduire la variable t, on auru

s =fV') *'/"(') + ?"(')'".

a et /) désignant les valeurs de / donnant les points extrêmes A etB.

Cette formule est d'ailleurs évidente, si on développe !e cylindre en faisant coïncider AiB, avec une portion de l'axe Ox. L'aire devient plane, et on peut lui appliquer tout ce qvi'on a vu sur la mesure d'un segment de courbe plane.

CHAPITUK V

QUKI.QUES MfiTHODi::S D'IXTÉGRATIOX

Nous nous occupons, diiiis ce chiijiitrc, de quelques catégories de diiî'érenttelles pour lesquelles il existe des méthodes générales d'intégration. Ce sont les différentielles rationnelles, et celles qui peuvent èlre rendues rationnelles par un cbiuigement de variable.

Nous indiquons, en commençiuit, quelques cits simples de réduction immédiate aux types élémentaires connus.

. - BÉDUCTrON AUX TYPES ÉLÉMENTAIRES

72. Cas àeréduction aux types élémentaires. — Ktantdonnée une intégrale

il faut d'abord voir si, par un changement de variable, on ne peut pas la ramener à un des types élémentaires du tableau (23), En d'autres termes, il faut voir si, en appelant it une certaine fonction de x, l'intégrale ne peut pas se mettre, à un facteur constant près, sous une des formes

L'intégiation est alors

QUE/.QUE.S MKTII ODES D' I y TE G R.l TIO N

Exemples. — 1" Soit ii trouver :

On peut remarquer que le mimàriiteur osl, au l'ncteiir li pet Il différentielle du déuominaleur, car

I peut donc éerli'o l'iutégmle

comme cette dernière întégiiilc est égale a -^-log » + C , l'iuté-

gi'ide proposée est égale à

llog(..-' + 3,,- + 2; + C^ 2" Soit de même ;

l'in écrivant cctie Intégj'ale

/*sin,r<:/,r r dcos.r

J COS.'' J cus.r '

.u volt <]u'ell(! est de la forme

I étant ici égal à cof^.r. Donc

Jtaug,r,/.r = -lof.cos.r + C.

On trouve, par un calcul semlilable,

I cotang.ï: rf^^=Iog siu .r -+- C.

iB COURS D'ANALYSE

'.]" Soit l'intégrale :

1 remarquera que le numérateur est, au facteur 2 près, la diffé- (ntielle du trinôme sous le radical. Si donc on fait

r du.

iLégraie qui pst égale à

- INTÉGRATION DES DIFFÊBENTIELLES I

73. Méthode générale. — Une fraction rationnelle R(.c) d'une variable x est une fonction de .r qui peut se mettre sous la forme du quotient de deux polynômes entiers en x :

ni cAp Josiguant deux entiers. Pour calculer l'inlégrale

ou décompose la fraction rationnelle R (.r) en iractioas simples et on intègre ensuite chaque fraction simple séparément. Comme on l'avu en algèbre, pour faire cette décomposition, il faut connaître les racines du dénominateur de R{.i')- Ces racines une fois connues, la décomposition de la fraction rationnelle en fractions simples peut se faire par la méthode des coefficients indélermi-

QUELQUES MirniODES D'hyTEGIi-iTI ON ii!<(

nés et n'exige plus qno la résolution d'équations iUi prcmir^r degré.

Les seules dinicultôs que pourra pi'ésenter l'intégration, seront donc d'o;'<ire algébrique; elles porteront sur le calcul des racines du dénominateur.