II. Soii à calculer
Actuellement, le clénominateur admet la racine triple .r ^= 0, cf tleux racines simples imaginaires conjuguées annulant le trinôme ^■'+^ + 1-
Comme le numérateur est d'nn degré inférieur ii celui du dénominateur, il n'y a pas de partie entière dans la fornuile de décomposition et l'on a une décomposition de la forme
lî
oii il reste à déterminer A, B, C, M et X. Pour cola, chassons les' dénominateurs, nous aurons l'identité
Égalons les coefficients des mêmes puissances de .r dans les deux membres, en suivant l'ordre des puissances croissantes ;
A=l, Ah-B = 0, A + B + C = (),
D'où on tire imniédiaîemenl
L'intégrale proposée est donc identique ;i
QUELQUES METHODES D' [ \r É G D À TI 0.\ i3i
Les deux premières intégrales s'obtiennent immédiatement ; elles sont de la forme
j a-"'d.T =- ,,j | j , où m est éga! à — 3, puis à — -2. Reste ii ciilculer
Pour cela, décomposons le trinôme du dénominateur en canes, rintéfçrale devient
et, en faisant, pour un înstanl,
de liiçon il lamencr le dénominatenr il la forme ?^ + l.
i )dl.
V'iî /
En écrivant cette intégrale
on voit f[n'elle est égale
-^log;i'+l} + ~^»rctnng;+C>%
1, eu revenant à la variable ,r, ±log[|-(. + 4)V.]+^aret.ngi5^+C.,
la quantité soumise au signe log peut s'écrire, un peu plus sim-
plement,-^hc' + x-hl ; en remplaçant le logarithme du produit par la somme des logarithmes des facteurs et fondant la
constante-rr-log-Tï- dans la constante arbitraire, on a enfin
iWÏ^--^^-x-l'-(-
75- Cas général. — Si l'on considère une fraction rationnelle quelconque R(.r), et si on la décompose en fractions simples, on trouve des termes des divers types suivants : d'abord une partie
quotient du numérateur par le dénominateur ; puis des termes de la forme
provenant d'une racine réelle a d'ordre o: du dénominateur (A, A',..., A("^'i sont des constantes) ; puis enfin dos termes de lu
provenant d'un couple déracines imaginaire s conjuguées d'ordre du dénominateur; !x''-\-px-\-q est un trinôme do deuxlèir
QUELQUES MÉTHODES D'INTÉGRATION lH
clncrpé admettunt ces deux racines conjuguées; M,, N^ ,M,,N„,
.es constiintes).
Pour Ciilculer l'intcgralo
i'^{.i)dx.
sdfTit (le calculei,' les intégrales des expressions (I), (11) et (111) ultipliées par i^.r. La partie enticre (I) donne l'intégrale
les Iraetions simples llli provenant d'uni l'intégrale
A" At"-
■ -li^r-df - (a-l)(..
Il reste donc à calculer les termes de l'intégrale provenant des fractions simples telles que (IH). Ces termes se calculent par voie
récurrente comme il suit,
/. M 1- -I- X 76- Calcul de \ ,— — r:, dx. — Chacun des termes de lu
somme (111) donne une intégrale de la forme
fw
OÙ rt a des valeurs entières positives, ii --^= i,ii^=2, ,«^-
Pour calculer cette intégi-ale, décomposons d'abord le trinôn x^-\-jjx-i-f/ en carrés :
L trinôme étant imaginaires, (/ — y- est positif;
^ COURS D'ANALYSE
Liùs le calcul que nous allons (aire pouvant s';ipplirjucr égale-
h pouvant èlre positil' ou uégutii'. L'intégrale s'écrit alors
[{.^Jff^,^
et, en f;ilsanl, le chaTiffemont de vai'iiible
tf + AP '
intégrale qni se partage en deux parties
Comme 2t^h est la diffère nti elle de i''^h, k promlOre intégrale est
2(„-l) (,' + /■)-> quand n est différent de i, et
quand /i =^ I .
Reste à calculer l'intégrale
QUELQUES METHODES D'I yTÉGRATIOy i3S
\ons allons, en supposante supérieur à 1, établir une formule récurrente entre I„ et I,i i. Pour cela, partons de
fit cciivoiis cette intégralfi sous ht l'orme / iidv en posant ;
L'intégration par pitrties donne
Dans la dernière intégrale écrivons le numérateurs cette intégrale devient 1„, — Al,,. On a donc
d'où, en résolvant par rajiport à 1,,,
Le calcul de I„ est ainsi ramené il celui de 1„| .
Cette formule étant établie, pour calculer une intégrale 1,,, où v est un entier positif quelconque, on fera successivement, dans la Ibrmule récurrente (1),
yGoosle
IÎ6 COURS D'AIiAI.rSE
et on sera ramoné liiiiilenient y calculer l'intégrale 1,
Quand h est positif, cette intégrale s'écrit :
Quand /( est négatif, h ^ — ■ k'-, on a :
'' ^j e — ir = Tk ^"^ T+X ■
Remarque. — Au point de vue pratique, il y aura avantage à commencer le calcul par Ij, I^, etc.. Car le calcul (le Is servira pour celui de Ij ; celui de I^ pour 1^ ; et aiusî de suite.
Exemple. — Soil à <:ali;iiler :
Décomposiiiit le trinôme eu c;irrés, on ii
,,■• + ', ..• + 0 = (.r+2)'- ■i on pose nlor,
l'intégrale 1 devient
, z' ( — 1 , r lill r (h
QUELQUES MÉTHODES D' I yrÉGRATIOy
L posiint, comme plus haut,
la quantité h est égale à 2. Si, dans la formule réciiiTentc (!1), on fait H ^3, puis /( = 2, oii a
I-'iiitogr!ile prnposéfi I n donc poiii' viilciir, il une constiintc II 1 / 3 /
32 iT'"" "'" l/2'
ou, en revenant li lu vuriuljle .r et lénnissiint les tenues de même dénominateur :
8 (.r' + ii' + li)" 32 .r' + 4,,- + 0
COURS D' ANALYSE
III. — INTÉGBATION DES DIFFÉRENTIELLES RATIONNELLES EN sill.ï' ET CAIS.i:
T7. Méthode générale. — Soit une intégrale de la forme : I = j"R(sinx,co5.T)^j-,
où R désigne une fonction rationnelle de sin.r et cos.r. On ramène cette intégrale i» l'intégnilc d'une différentielle rationnelle en faisant le changement de variable
Umg-y = ï,
où I. est la nouvelle variable. On tire de là
■Il l~l'
.arctim»/, ,lx = -
L'intégrale proposée devient alors
c'est l'intégriile d'une différeolielle rationnelle en ;.
Remahque. — Une l'onction rationnelle en tangx, cotang.r, sécj; et cosécx est aussi une fonction i-ationnelle en sin.r et eos:i'j puisque :
tang.r
coLang.j; ^ —
QUELQUES MÉTHODES D'INTÉGliAriOy i^
