IV. — QUELQUES INTÉGRALES SE RATTACHANT AUX PRÉCÉDENTES
T9. Intégrales d'un produit de sinus et de cosinus. — J» Soil d'aijord une intcgralc de la l'orme :
COsX COS LJ.
qui donne
j COs((I.T
tlt
OÙ rt, i», a et ^ désignent des constantes. On remplaceru le produit de cosinus par une somme, d'après l'identité
(1) cos(«*' +a)cos(/.,r+ p) = ^|^cosi(« + /,).i + a + ri]
D'où on tire immédiittenient
1 ■inf(a + /.).r+.+ ?l 1 ain[(»- /<)..'+»- fil
Jco.(,« + .)co.(/„ + ?)i- 2 ^^,,
Cette intégrale change de Torme quand a -{- b on a ^~ l> est nul. Par exemple, si // = a, s disparait dans le deuxième cosinus du second membre de l'identité (1) et on a
l'cus{ax + a)eos(rt,r + ^)clj; = -^
:l sin(2«,T+a+fi)
yGoosle
■i^ COUnS D'ANAf.YSIi
'!" Kn p^irtant de ricteiitité
1 trouve àc. i
e pour
/sin(«r + .).;n(/,,.+ ^)./,r,
^xpiessioii
qui change de forme, quand h ^ a ou A ^ — «. s; /. =:o, on u
l'sJn.^.r +a)sm(r/.r+ (ï) (/.r = ^,rcos:> — fi
1 sin(2^,. + a + P)
2 la
W Enfin, l'identité
donne de nif me pour l'intégrole
Jsin(-Y.r+ oc) cos (/,,<■+ ?)./.r, l'expression
1 cos[(., + A),,-+a+^i: J co. [(.>—/.).
rt — /< (lui change de l'orme pour (/ -— - ± h, et qui devient, pour n = /;,
L cos(2.,,r + « + :i) l ,^,
4° Si l'on a une intégrale portant sur un produit de plusieurs sinus et cosinus d'arcs linéaires en .r comme les précédents, on
QUELQUES METHODES D'I NTÉGRATIOK i/l^
rcmjjliiff ce produit par une somme de sinus et cosiiuis : l'intégration est alors immédiate.
Par exemple, si le produit comprend trois facteurs.
fos>eos;j.L-osv,
X -^ „,r + 7., Y-= '''■ + ?' ■' = '-■'■ + ïon remplace d'abord cos), cos vi, p;ir une somme
cosAeos;^=-. -— cos(A + a) + -j-cos ^A — [i) ;
en multipliant par eos v, on a deux produits qu'on remplace, ;f leur tour, par des sommes
COSp.+ r^)cOSV =-i-cos(}>+ a + v) + ^COs(À + <^-v},
cos Ça — [ijcosv = -^cosÇj,- — o + v) ^ ^^-cos ().— [^ — v}.
On a donc finalement
COS/. COS;j.C0S V = — cosi/. + ;J- + v) H-^cos(A-|- u— v)
L'intégration est alors immé<li;Ue-
80. Puissance positive d'un sinus ou d'an cosinus. — Lu méthode que nous venons de donner poiirtrouver l'intégrale d'un produit de sinus et cosinus, s'applique é-ïâdemment quand plusieurs fiicteurs du produit deviennent égaux. Supposona-les touségaux, nous aurons une intégrale de la l'orme
COURS S'AiVALySE
% otiint un eiilier positif.
Si l'on Gùt
t'cs intûffriik's i.levlennent
vJ--"«^ ^I""-
Pour les évaluer on remplace cos'"î( et siii"'H par une somme de cosinus et de sinus des multiples de ii. Les expressions de cos"'» et sîn"'H pur des sommes peuvent se cidciilet' de proche en proche; par exemple :
multipliant par cos(( et rempliieaut le produit cos/(ci «ne somme, on a
Multipliant par cosh et remplaçant cliaquc terijiç du si membre par une somme, on a cos''«; et ainsi dè'suite. On peut opérer plus rapidement comme il suit. Posons
eos u + i sin « = 'k, cos ii — / sin a = u.,
d'où, d'après la formule de Moivre,
On en conclut, par addition et sousUaction,
,s,, ,-,nj-(). + a), û^u = ^^Q.-.f],
QUF.LqUES METHODES D' INTÉGRATION' 145
On a donc, (Vnprès Texpression de cos 11 :
™s"'« = -2;^()-H-rt"=4^['-- + /"+-^À;^p.--' + ;i— ')
Dans cette formule, on développe (X + ^)"'par la formule du binôme et on réunit les termes qui ont mêmes coefficients : le premier et le dernier, le deuxième et l'avant-dernier^ etc.. Or on a
On a donc
,=-^[2ms
„ + 2,ncos(,„-2)„
L'iutégrale j cos"'ii du s'obtient iilors immédiatement Exemple, — Soit à c^lculei*
On 3
"•'"-Te
\q. + (.)■ = -Ira.' + ,.•+ 4À;j. (V + y.') + 6 ),>■],
~ 4 cos 2 »+ 3).
On en déduit îmmédiuteinent i / sin 4 n
- 2 sin 2 n + 3 « + C».
On calcule paï la m6me métliode
Tsin-o du ;
i4ti COURS D'A
il suffit de partir de l'identité
et d'élever les deux membres i» la puissance m en remphioant ensuite les termes tels que V + \l'' par 2 cospu et les termes tels que X' — ji-' par 2is{nqe(.
Nous verrons plus loin que les quantités X et ;j. peuvent ôtre écrites
d'après une formule due à Euler,
81- Remarque sur l'intégrale j cos"'usm''ndii. Pour calculer l'intégrale
I cos"'(f siii''H(/'(f,
où m et /J sont des entiers positifs, on peut remplacer cos'"u et sin''H par des sommes de cosinus et sinus des multiples de u. En faisant le produit de ces deux sommes, on aura à calculer dts intégrales de la forme
Quand un des exposants /;; ou /; est impair, le calcul se simplifie. Soit, par exemple, m impair : m^2 n -\- i.On écrira l'intégrale
, en posaiU sm « =
intégrale que l'on calcule immédiatement après av<i]r développé
QUELQUES METHODES B' IS'rEGRATlON
(i — i-)" par I;i formule du binôme. De même, sl/> est impair, fait cosM= (.
KxEMPLu. ■ — ■ Soit :
En posant sin it = !, on il
C(i i^y-i'-d/ = f{f- — 2i' + cyif, c'est- Il -dire
