Cas de <i positif. — Supposons a > 0. Nous écriions

Désignons alors par n nue nonvelle variable, et posoni

yGoosle

COURS D-AXAI.rSE

Élevant au caiTiî et siipprimant les termes x'^ diiiis les dei membres, i>ii a

(2) pjc -^ q ^ — 1 1,

Remplaçant x par cette valeiiv dans réf[uation (1), on a

De cette façon, x et y sont des fonctions rationnelles de u. En différentiant l'expression (2) de .r, on a

(4' ,h^l'I^'"'+'l du

Si alors, dans l'intégrale proposée

fR;,,,5)rf.r,

on remplace x, y et dx par leurs valeurs ci-dessus, elle se transforme en l'intégrale d'une différentielle rationnelle en u.

RxEMPi.E. — Soit il trouYOr l'intégr.ile ;

Si l'on fait

^J .TV'.j' + 2,e-

^x'+ïx+-i ■ on trouve

■•=2 + 2^' VV + 2. + 3=-^l;^ , , n« + 2« + 3 ,

L'intégrale I devient donc

2dn

QUELQUES MÉTHODES D'I yTÈGRATlOl^

Dcconiposaiit la fraction rationnelle en fractions simples

V'3 Ln — 1/3 n + v'i i

I=il

log-

1/3 'cniiiit à la variable x,

I=-=lo

'g-atiY. — Qaan<l « < 0, on peut écrire

-ba--

en mettant en facteur \/ — a qui est réel. Pour que la valeur de y soit réelle, il faut que le trinôme — x^ -\- px -\- q ait des racines réelles et que x soit compris entre ces racines. Appelons a et 3 les racines de ce trinôme, a étant supposé moindre que (3. On peut écrire

t^— X- -^pj: + ry = s/[x

Il clésignanL ime nouvelle variable. Xous avo

quant au radical, il devient

i>0 COUBS D'ANALrSE

oiij on remplaçant ,r par sii valeur (6),

(7) V(..:-!.){?-..7=-{?-«)jTp^-

Enfin 1.1 rclatioi. (C) iloniic

Par ce eliangemeut de variable, rintôgrale proposée /•R(^,j)<i,r, devient donc riiitosrale d'une différentielle rationnelle <

KxEMci.iî. — Soit à calculer rintéi

{^-yOv'(.^-=0{P-

a < fl

et oii \ est extérieur à l'intervalle (a, fi).

Nous supposons, pour fixer les idées, X< a.

En faisant la substitution que nous venons d'indiqui trouve

,; ■-— , arc taiiy

wm^

Eu parLiculicj', si l'on voulait l'intégrale définie

II =r' ''

J. (»: ~ 1) v' (.,■-.) (fi -.r} la formule da changement de variable

QUELQUES IHÉTIIODES D'INTÉGRATl OS montre que, ii variant de 0 il ™ , jr varie de « à p. On a donc 2, lu

Nous venons de calculer l'intégrale indéfinie J : l'inlégrale définie H est la différence des valeurs que prend J pour h = 0 et pour u = X, Comme arc taiig 0 = 0, arc tang 20 = -;^ , on a