du

i de n nul. — SI u est nul, on a

On fera

l'X -\- c -=ii'-, y = u, dx =

et la difféi

rentielle

deviendra

rationnelle en u.

86. Interprétation gsomitri(iu.e du cbang&ment de variable employé. — Voici comment on peut interpréter géométriquement les substitutions qui nous ont servi à ramener l'intégrale

à l'intégriile d'une fonction rationnelle de u, et comment on peut trouver d'antres substitutions permettant d'arriver au même résultat.

Si l'on considère ,r et ;/ comme les coordonnées cartésiennes d'un point M, l'équation

yGoosle

COURS D'.4,\ÂLy.

représente une conifim

/n!*,i/)fc

à l'Intégrale d'une fonction rationnelle, il suffit d'exprimer les coordonnées ^ et y d'un point M de cette conique en fonction

rationnelle d'un paramètre h. Pour cela, prenons un point fixe

queleonque M^ sur la conique (^g. 53), ayant pour abscisse ar^ et pour ordonnée

puis coupons la conique par une sécante variable Mu M passant par M. Cette sécante a une équation de la forme

Comme elle coupe la conique en un seul point variable M, les coordonnées x et y àe ce point M s'expriment rationnellement en fonction de u. On voit qu'il y a une infinité de façons de réaliser la transformation de l'intégrale en une intégrale d'une fonction rationnelle, puisque le choix du point Mo est arbitraire.

Il est aisé de voir que les substitutions employées dans les numéros précédents rentrent, comme cas particuliers, dans celles que nous venons de définir.

Prenons d'abord la conique

c'est une hyperbole équilatère (fig. 54, I), dont Ici

uptotes

QUELQUES MÉTHODES D'INTEGRATION iS:

sont parallèles aux bissectrices des angles îles axes. Nous avom

\/x^ -\-px -\- tj ^x — «, ou

Cette clerniôre équation, clans laquelle « est variable, représente une droite mobile parallèle à l'asymptote C A, c'est-ii-dire passant par un point M„ de l'hyperbole rejeté à l'infini dans la

direction CA. Cette droite ne coupe la courbe fpi'cn nn point variable M, dont les coordonnées s'expriment dès lors rationnellement en u.

Prenons ensuite la conique

- px -

Pour qu'elle soit réelle, il faut que les r soient réelles ; on peut alors écrire

Cette équation représente un cercle (fig- .')4, II), ayant s centre sur Ox et coupant cet axe aux points A' (.r = a) B' [x :::^ ^). Nous avoDS posé

d'où

yGoosle

Cette tlornière éqiialion représente une droite lî'M', passant par le point fixe B' du cercle et coupant le cercle en un seul point

87- Remarque sur les courbes unicursales en général.- — lîtant donnée une courbe plane algébrique

on dit qu'elle est unkni-sale, quand les coordonnées x et y d'un quelconque de ses points peuvent être exprimées en fonction rationnelle d'un paramètre «.Telles sont les coniques, les courbes du troisième ordre avec un point double, les courbes du quatrième ordre avec trois points doubles ou un point triple. Si l'on veut calculer l'aire d'un segment ou d'un secteur d'une de ces courbes, on est conduit à calculer des intégrales de la forme

^yd:i-, ^{x(hj — ydx]

le long d'un certain arc de la courbe. Comme .x et y peuvent être exprimés rationnellement en fonction de u, on voit que, en introduisant cette variable a, on sera ramené à intégi'er des fractions rationnelles en ii. Il en est de même, si on a à calculer, le long d'un arc de lu courbe unicursale, une intégrale de la forme

R étant une lonction rationnelle de r et y

88. F-XEMPLE. — ■ On peut ainsi ramener ii l'intégration d'une fonction rationnelle l'intégration d'une ditFérentiellc de la forme

ou A,B,...,L,A',B',...,K' sont des constantes, a,li,...,l,a\b',...,k', des exposants commeusurables, entiers ou fractionnaires, positifs, négatifs ou nuls. Il suflit, pour cela, de réduire toutes les frac-

QUELQUES MÉTHODES D'INTÉGRATION' iSî

tiuiis (i,li,...,l,£i' ,h',...,k' au même ilénominateiir o et de l'iiiro eiisiiltr^

Tous les exposants deviennent iilors entiers et la différentielle devient rationnelle.

Ainsi soit à ciileuler :

Les exposants de c sont-^ et -^ ; en les l'éduisanl au mÈme déno-

minateur, on peut les écrire -r et — r; on lera alors ' t) f)

et l'intégrale deviendra

qui est l'intégrale d'une fonetion rationnelle. Géométriquement, on peut dire que la courbe

est unicursale, puisque la substitution .v ^= u'^ donne ,r et y en fonctions rationnelles de ii.