VI. — INTÉGRAtES DE DIFFÉRENTIELLES BINOMES

89- Cas d' intègrabilité. — ■ l'ne différentielle binôme est une difTérentlelle de la l'orme

COURS D'ANALYSE

où a et /' désignent des constantes quelconques, m, n etp des exposants commensurablcs, entiers ou l'ractionnaires, positifs, iiégatirs ou nuls.

L'intégration d'une diiFércntiellc binôme

1= fx"'{a+/j^")''d.%',

peut être effectuée, ii l'iiide des ibnctions élémentaires, dans chacun des trois cas suivants ;

l" p est un nombre entier, positif, négatif on nul;

2" esL un nombre entier, positif, négatif ou nul;

3" ~- h jj est un nombre entier, positif, négatif ou nul.

Nous allons traiter le premier cas ; puis, nous verrons que le second cas se ramène au premier, et le troisième au second, et par suite au premier.

Premier cas. — Supposons p entier. Tout d'abord, si p est un entier positif, on développera [a + tia.^'f par la formule du binôme, on multipliera le développement par x"'dx et on sera ramené à l'intégration d'une somme de termes de la forme

Exemple. — Soit à calculer :

Développant le cube

et multipliant par .*■ - da', t>n ost ramené à calculer

qVELQVES METHODES D'I.VTEGRATIOX i57

intégrale qui est égale a

— 2 x-^ — <) x'-r 18 x-T- -{- log ,r 4- C" .

— Supposons ensuite yj entier, mais négatif. On ramène alors l'intégrale I à l'intégrale d'une fonction rationnelle comme il suit. Les exposants w et /( sont des fractions positives ou négatives ; réduisons-les au même dénominateur et soient, après cette réduction,

lUs le changement de variitblc

on en conclut

et l'intégrale devient

où tous les exposants ). + ul — 1, v, p sont entiers, positifs ou négatifs ; on est donc ramené ii l'intégration d'une fonction rationnelle.

ExEMi'LE. —Soit à calculer :

Actnellement/; == — 2, entier négatif. On réduit les fractions

1 =^ j- , n ^— r au même dénominateur 12,

yGoosle

r.8 COURS D'ANALYSE

on l'ait, ensulLe, ,f =: u'^ et on est rnniené à rinLégriilc

12 i',t%i — i,''f\ln = 12 r " „T ^K,

([ue l'on calpulei'ii, d'upiés la métiiode du u" 76, en décomposant-- Tï' ^" "^^ partie entière du quatrième degré suivie

de Tractions simples correspondant aux racines du dénominateur.

ramène ce cas au précédent (/* entier), en prenant comme nouvelle variable le binôme a -{- Iij:". Posons done

„ + bj:" = !, t désignant une nouvelle variable. On en tire

X"' = ir^[i — aX^ , d.c = -L/,-7r(ï a-pr-' dt.

L'intégrale

{=i\v"'{a+ljx"Yd.:c,

devient alors

On est ainsi conduit à l'intégrale d'une dift'éventîelle binôme en t de la l'orme

V=^l'"'{a'+b'e'f'dt,

yGoosle