CHAPITRE VI

DÉVEL0PPJ£MT:\T DX'xM; FO^■CTIOX EX SÉRIE DE PEISSAKCES U.NTIÈRES ET POSEIIVES DE LA YAPdABLE

91. Généralités. — Lu dûvo]ij[]pciiiuiil iriiiic i'ouction f{.r) en une série de la forinu

où«i,, iTi,..,.,fl„,... sont lies coefficients constants, est d'une grande importance aussi bien dans la théorie que dans les applications. Cette importance tient surtout à ce que, dans les limites dans lesquelles elles sont convergentes, les séries de puissances peuvent être différentiées, intégrées, multipliées les unes par les autres comme des polynômes.

92- Premier exemple. Progression géométrique décroissante. — La théorie des progressions géoji(étriquc.s donne le dcvelo])pement

li) T^= l + ^'+»-' + + ■'■■+•■■

convergent pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et + 1. On a, en effet, en faisant la division et désig'nant paryi un entier positif quelconque

Si ,T est moindre que i en valeur absolue, a,''"'"' tend vers zéro

.SJÎniES DE PUISSANCES i53

ijuaiid p augmente imlciiniment, le premier membre tend vers - — ■ — et l'on obtient le dcvRloppemeiit (L),

93. Expression du reste. — Si, dans la série (1), ammc des p premiers î 1 qiiniiLilc

prend la cette somme diffère de de

qu'on appelle le reste de la série. Cette quantité mesure l'erreur

que l'on commet quand on remplace la fonction -, par la

somme des y? premiers termes de son développement.

D'après l'identité (2), dans laquelle on fait passer le terme

-p- dans le deuxième membre, on a immédiatement

formule qui résulte également de I

lation de la série

\ons allons calculer une limite supérieure de oe reste.

Supposons que .r, au lieu d'être en valeur absolue moindre quel, ce qui sulfit pour assurer la convergence de la série, soit, en valeur absolue, inférieur ou égal à un nombre positifs- moindre que 1, nous écrivons cette hypothèse :

en convenant de désigner par | j; | la valeur absolue de x. Dans cette hypothèse, comme la valeur absolue d'une somme est au plus égale à la somme des valeurs absolues de ses différents termes, on a, pour la valeur absolue du reste /■,,

COUnS û'AyALÏSE

un remplaçant le deuxième membr

On a ainsi une limite supérieure du reste qui con^àent pour toutes les valeurs de x inféi-ieures on égales à t en valeur absolue.

94. Autres développements en progression géométrique . — Voici quelques développements qui se tirent immédiatement du précédent :

1" Soil. a une constante i/i/fèrenle de .:éi-o, on !i :

comme on le Yoil en remplaçant clans (i) .r par — . Ce nouveau développement (4) est convergent quand la valeur absolue de — est moindre qiie l

c'est-ii-dire quand .r est compris entre — «et --\-a.

2" Si, dans la formule (1), on change .r en — .r-, on a :

développement convergent poni' .r compris entre — 1 et + 1.

95. Représentation graphique. ~ Considérons la courbe (fig. 55).

Cette courbe est une !iyperl)ole aviUit potii' iisymptote lit drulte AB, .1=1.

Si l'on veut représenter grapliH[uemenî ];i ionction définie pur le développement (1)