I.c développement en série no représente dcnic que l'iur, de

rapport a O'j.

De même, 1^

le dcveloppem

i entre AB et la droite A'B' syn

courbe //.-

di,|uée (lig. 56) ;

eonvergent seulement quand .*■ est compris entre — 1 et -f- 1, représente l'arc BB' compris entre deux parallèles AB et A'B' à Oy, placées symétriquement pur rapport à Oij il une distance 1 de l'origine.

96. Intervalle de convergence d'une série entière.— Théorème, Une série enlière converge dans un inlervalle nijinélrii/ue par rapport à zéro.

et supposons qu'elle converge pour une valeur particulière a de la variable x, nous allons démontrer qu'elle est convergente pour

i6(i COVHfi D'.l,\.i/.ySE

toutos les viileuïs Je .t compvises eiiti'c — y. cl H- a, c'est-a-dii'c

telles que

étant convergente par iijpollièse, le terme général tend vers zéro. Lu série proposée peut s'écrire ;

Supposons que la valeur absolue de — soit moindre que 1,

Comme fl„a" tend vers zéro quand n augmente indéfiniment., ■ il est évident que, pour toutes les valeurs de l'entier n dépassant un nombre fixe suffisamment grand, rt^a" est, en valeur absolue, moindre que 1. Pour toutes ces valeurs de n, le terme jrénéral de la série proposée

esl, en valeur absolue, plus petit que — > c'est-à-dire plus petit que le terme général de la progression géométrique décroissante dont le terme général est — . La série proposée est done

D'après cela, on voit que la série converge nécessairement dans un intervalle symétrique par rapport à 0, car, dès qu'elle converge pour une valeur a de x, elle converge, dans tout l'intervalle de — a à + a. Le fait que nous avons vérifié pour les

SEiiiES nu ;'t'/.î,s-

développomcuLsdc ~ , , est donc général. Si oi

veut construire la courbe définie par une équation de la forme

cette courbe n'existe cjn'entre deux ordonnées symétriques jiar rapport à l'axe Oy, comme dans les figures (55) et (56).

En imaginant qu'on ait déterminé un nombre a. aussi grand que possible en valeur absolue, tel que la série converge pour ^ ^ a, nous appellerons intervalle de convergence l'intervalle de — a ii-f-a. Il faut observer, au sujet de cette locutions que la série est supposée converger pour o^ = a ; elle converge alors pour toutes les valeurs telles que

mais elle peut diverger pour x ^ - — a. Par exemple la séïie

est convergente pour ,«=1. Elle est donc convergente pour I X I < l.Mais elle est divergente pour .-c = ^l.

97. Remarque. Dans l'intervalle de convergence de — a à -\- y., la série obtenue en prenant les valeurs absolues des termes de la série proposée est convergente. — Cela résulte de la démonstration même, car nous avons vu qne, pour ?i suffisamment grand, la valeur absolue de chaque terme est plus petite

que — , c'est-à-dire plus petite que le terme général d'une

progression géométrique décroissante à termes tous positifs.