Exemples

l" La série

1 +2.r + 3.î^^ -f-... + «.T"-' -f-..., est convergente quand .r est compris dans l'intervalle — ij H- !>

cl, divcrgcnttb f|nitiîLl .r est, effet, le l'apport d'un ternie

tpLid vers .t ([uaiid n augmente indéfiniment. Dans cette série, Fintervalle de convergence est un intervalJe quelconque de — a à + a compris dans l'intervalle de — 1 à + i. La série est divergente pour les valeurs ±1, car, pour .c =:dz 1, le terme général augmente indéfiniment.

est de même convergente pour | .x | < 1 et divergente pour I ,c I > i. A l'une des limites x ^ ■ — 1, elle est convergente : on peut donc prendre ct = — 1 ; Ji l'autre x = + 1, elle est divergente. L'intervalle de convergence est donc de — 1 à H- 1. 3" La série

est convergente pour | .r | < 1, divergente pour | x | > i ; elle converge aux deux limites a: = it 1; l'intervalle de convergence est de — 1 à + 1.

4" La série bien connue

est convergente pour toutes les valeurs de x : on peut dire qu'elle converge dans l'intervalle symétrique — oo à -f- oo-

5° Le développement de «^, où a est une constante positive, se ramène immédiatement au précédent. Pour cela, on pose

t désignant une nouvelle variable; en prenant les logarithmes népériens des deux membres, on a

LUIITE nu RKSTE. BI FfÉllE .ylIATI O ^' ET JyTÉr,IÎ-iT!0:< iGy Alors

Le dévcloppcmoiiL converge pour toutes les valeurs de .r,

de —3= Ll + ^ .

ir. — LIMITE DU RESTE. — DIFFÊBENTIATION ET INTÊGBATION DES SÉRIES ENrlËRES

99. Enoncé des théorèmes. — Pour obtenir la dérivée ou la fonction primitive dune l'onotion délinie par une série entière dans l'intervalle de convergence, il suffit de dériver ou d'intégrer la série terme ii terme. C'est là un théorème très important qu'on pourra admettre dans luie première lecture. Nous en donnons une démonstration imprimée en plus petits caractères.

100. Limite supérieure du reste de Ja série dans un intervalle compris dans l'intervalle de convergence. — Soii, commi;

plus hiUl,

une sci'ic qui converge pour x =^ s. Nous avons vu qu'elle eonvoi'gc pour loulcsies valeurs de jr coiiipriscs dans l'iolorvalle — a,-\-a, c'est-à-dire

Dans cet intervalle, la série dëlinït une fonction que nous appelons /'(a:). Quand on avpdte la Béric au rang^, on commet sur la valeur de f(x) une erreur appelée le reste R^ de la série.

soit assujetti il la condition

170 COURS D'AKAirSE

s otanl iiTi nombre positif ddtormiiii^ plus petit que i, miiis d'iiillours aussi pris do I qu'oB le veut. Nous supposerons donc x compris dans un intorvallc déterminé, plus petit que l'iutcrvalle de convergence.

La série étant supposée convergente pour ;e:=i, le terme giSnéral ««a" tend

cl le reste R,,

Puisque iï„a" tend vers zéro quand n augmente indéliniment, on peut choisir le noniLrc p .issez p;ran(l pour que, ii étant supérieur à p, la râleur absolue de <r„a" soLl moindre que i. Ce choix étant fait, on a

ou, en remplaçant la progression géométrique dcRi'oIssanti: dn second membre par sa somme

101. Intégration d'une série de puissances. — Soit une série de puissances

Nous allons démontrer que, dans l'intervalle de convergence, l'intégrale de

LIMITE DU RESTE. DIFFÉREATIATION ET INTÉGRATION 171 lu fonction f [x] s'obtient en intcgnmt la série terme à terme, c'est-Ji-dire

f[x)da: = a,x + a,-^ +„^__ + ... + «„__ + ,..

En effet, supposons, commo plus haut, que k série f(x) eoit convergente dans rinlorvallo de — a îi + a. Donnons à x des valeurs telles que

Nous pouvons écrire alors

U^ dcsignanl le reste de la série. Nous avons donc, i-u niultiplianL par dx et inlégracf de o à œ.

Mais nous avons vu (X" loo) que Ton ■.^

donc la râleur absolue de l'iiilégvate j R,, dx est moindre que la râleur

C" tpH x^l' + i absolue de ) dx, c'est-ii-dîrc de , car e est

102. Différentiation d'une série entière- — Kous allons démontrer de même que, dans l'intervallo de convergence, la dérivée de la série f [ni) s'obtient en prenant les dérivées des diven termes de la série.

ConsidL^rons, en effet, la série

/; (x]^a, + . a,x + ... + na„ .m-' + ...

yGoosle

17a COURS D'Â^^ALYSE

X0119 allons montrer d'abord que cette nouvelle série co /"(j), pour les valeurs de x moindres que « en valeur iihsoluc

\L\\ effet, comme la série f{x] est supposée convergente pour x := a, «„«" Icndvers zéro. Donc on peut toujours assigner un nombre lixelel que, « étant supérieur a. co nombre, n,, «" soit, on valeur absolue, moindre que i.

un voit que, il partir d'un eortain rang los termes de la série entre parenthèses sont, eu valeur absolue, moindres que ceux de la série

qui est convergente, car ~ < ' (voirm 99).

La série de puissances /j ix) est donc convergente pour toutes les valeurs do X moindres que a en valeur absolue. Son intervalle de convergence ost un intervalle de — a' à + a', a' étant inférieur à a on valeur absolue, mais aussi près de a que l'on veut.

Ceci posé, nous pouvons appliquer à la série /j [x] le théorème précédent sur l'intégration des séries de puissances et nous aurons, en intégrant terme »tc™I.,4TOf, M,

j f,[:<:)dx = f{^)-

Endifférenlis

nt ceUe reialîon par rapppoi'

Donc \:\ dériv.

■■<■ '^^^^^ est donnée >ar le r

DÉVELOPPEMENTS DE OUELQVES /'().\CTIO.yS PARTICULIÈRES

ni. — DÉVELOPPEMENTS DE QUELQUES FONCTIONS PARTTCULTÉRES

\.Q'i. Développements de log{l—x),log[l +j:), log — j-__

— Nous avons rappelé au numéro 95 le développement de

pur une progression géoniclrique

convergente entre — L et + 1. ^MuUlplions les deux membres par dx et intégrons-les de 0 ii :i. Nous nvons, après avoir changé \es signes,

log(l -

développement convergent également entre — - 1 et -f- i. Le développement converge encore pour x = — 1 ; on peut le démontrer et nous admettrons qu'il continue à représenter lu fonction ; on u donc alors :

log2 ^i^ + ^

En chang'eunt j; en — ,i-, nous ohtenuiis le dcveloppcmenL de log(i + ,r)

log(.l +,,■) „ .r - ^+ 4^ ... + ( 1)— -|^+ ...

Retranchunt les deux développements précédents terme à terme et remplaçant la différence des deux logarithmes par le logarithme du quotient, on a

On ramène aux développements précédents le développement

de log (a + x), où a est une constante positive diffèrenle de 0.

COURS D'ANALYSE

En effet, si l'on icv'ii a -\~ x ^^ ai i -\ — '- — j, on a ; \o^[a -\- x) =^= log " H- log f L H — ^J. On est alors l'imiené itii développement de log(l H — '■ — j, qui se déduit du développement de log (1 -|- .(■) pai' le changement de j: en -^; et on a

développement cnnvcïgent pour < 1.

104. Développement de arc tang x. ■ — Xiins avons plus haut, comme une eonséquenee de hi théorie élémentai progressions géométriques, le développement

convergent pour ,'■ compris entre — 1 et + i.

En multipliant par dx et intégrant de 0 à.r, on a

développement tjui converge également entre — i et + i. Ce développement converge encore pour la limite .r=:l; comme

arctang 1 est égal à -7-, on a, comme dans l'exemple précédent,

Cette série converge très lentement et ne oonvient jias poi oiilciil tic n.

SÉRIE DE MAC'LAUlliy. APPLICATIONS